Самоэкзаменатор по курсу линейной алгебры и геометрии
Э. Б. Винберг
Если основное поле не указано явно, то следует считать, что это
R
.
Вопрос 1
Сколько имеется базисов 4-мерного векторного пространства над полем
Z
2
, согласованных с парой двумерных подпространств, пересекающихся по одномерному подпространству?
Вопрос 2
Векторное пространство V над полем
Z
3
разложено в прямую сумму одномерных подпространств V
1
, V
2
, V
3
. Сколько имеется двумерных подпространств пространства V, имеющих нулевое пересечение с каждым из подпространств V
1
, V
2
, V
3
?
Вопрос 3
Могут ли матрицы
/
2
3
\
\
3
2
/
и
/
1
2
\
\
4
3
/
быть матрицами одной билинейной функции в разных базисах?
да
нет
Могут ли они быть матрицами одного линейного оператора в разных базисах?
да
нет
Вопрос 4
Могут ли матрицы
/
1
2
\
\
2
1
/
и
/
0
1
\
\
1
2
/
быть матрицами одной билинейной функции в разных базисах?
да
нет
Могут ли они быть матрицами одного линейного оператора в разных базисах?
да
нет
Вопрос 5
Чему равен отрицательный индекс инерции квадратичной функции от 3 переменных,если известно, что у ее матрицы угловые миноры порядков 1 и 2 равны 0, а определитель положителен?
Вопрос 6
Может ли матрица
/
1
1
\
\
-1
0
/
быть матрицей симметрического оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Может ли эта матрица быть матрицей ортогонального оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Вопрос 7
Может ли матрица
/
2
-1
\
\
1
0
/
быть матрицей симметрического оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Может ли эта матрица быть матрицей ортогонального оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Вопрос 8
Может ли матрица
/
2
1
\
\
5
3
/
быть матрицей симметрического оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Может ли эта матрица быть матрицей ортогонального оператора в каком-нибудь базисе?
да
нет
Вопрос 9
Сколько инвариантных подпространств (включая нулевое и все пространство) имеет линейный оператор A в 3-мерном комплексном векторном пространстве, удовлетворяющий условию A
5
=E и имеющий лишь конечное число инвариантных подпространств?
Вопрос 10
Какое минимальное число жордановых клеток может быть в жордановой форме матрицы линейного оператора A ранга 2 в 5-мерном комплексном векторном пространстве, удовлетворяющего условию A
3
=A
2
?
Вопрос 11
Какова наименьшая размерность аффинного пространства, содержащего две скрещивающиеся 3-мерные плоскости?
Вопрос 12
Сколько аффинных преобразований (включая тождественное) переводят в себя гиперболу x
2
- y
2
= 1 и точку (√2, 1) на ней?
Вопрос 13
Что представляет собой произведение поворота на π / 2 вокруг прямой l в E
3
и параллельного переноса в направлении, перпендикулярном l?
параллельный перенос
поворот вокруг некоторой прямой
винтовое движение
Вопрос 14
Чему равен угол между плоскостями, проходящими через центр правильного икосаэдра и два его ребра, принадлежащих одной грани?
π / 5
π / 3
2π / 5
Вопрос 15
Какие из следующих квадрик в 3-мерном аффинном пространстве пересекают бесконечно удаленную плоскость по паре прямых?
xy + yz = x - z
x
2
+ y
2
+ z = 1
x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - xz - yz + x + y + z = 0
y = x
2
Вопрос 16
Каким минимальным числом аффинных карт можно покрыть 3-мерное проективное пространство?
Вопрос 17
Каким минимальным числом аффинных карт 3-мерного проективного пространства можно покрыть квадрику, изображаемую на некоторой аффинной карте как однополостный гиперболоид
двуполостный гиперболоид?
Вопрос 18
Какое максимальное число проективных преобразований плоскости (включая тождественное) может переводить в себя окружность и каждую из двух заданных прямых, пересекающихся внутри окружности?
Вопрос 19
Пусть {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
} - базис векторного пространства.Какие из следующих бивекторов разложимы?
e
1
Λ e
2
+ e
1
Λ e
3
+ e
2
Λ e
3
e
1
Λ e
2
+ e
3
Λ e
4
e
1
Λ e
2
+ e
2
Λ e
3
+ e
3
Λ e
4
+ e
4
Λ e
1
Вопрос 20
Пусть {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
} - базис векторного пространства.Какие из следующих тривекторов делятся на e
1
?
(e
1
+ e
2
) Λ (e
2
+ e
3
) Λ (e
1
+ e
3
)
(e
1
+ e
2
+ e
3
+ e
4
) Λ (e
1
+ e
4
) Λ (e
2
+ e
5
)
(e
1
+ e
2
+ e
3
) Λ (e
2
+ e
3
+ e
4
) Λ e
4