Редуктивную алгебру Ли $\mathfrak g$ можно рассматривать как бипуассоново многообразие со скобками $\{f,g\}_x = (x, [df,dg])$ и $\{f,g\}_a = (a, [df,dg])$, где $(\, , \,)$ — инвариантное скалярное произведение на $\mathfrak g$, $x~-$ переменная, а элемент $a$ фиксирован. Зададимся вопросом о поиске полной системы функций в биинволюции относительно обеих скобок. Если элемент $a$ регулярен, то ответ даёт метод сдвига аргумента Мищенко–Фоменко. Оказывается, этот метод можно рассматривать как частный случай более общего подхода.

Скобки Пуассона $\{ \, , \, \}_x$, $\{\, , \,\}_a$ можно рассматривать как кососимметрические билинейные формы $f_x$ и $f_a$ в пространстве дифференциальных 1-форм на $\mathfrak g$ с рациональными коэффициентами. Чтобы найти полную систему функций в биинволюции, достаточно найти базис подпространства, билагранжева относительно форм $f_x$ и $f_a$, и проинтегрировать его по переменной $x$. Для нахождения базиса билагранжева подпространства используется метод Кронекера.

Доклад посвящен описанию полной системы функций в биинволюции на $\mathfrak {gl}_n(\mathbb{C})$ относительно скобок $\{\, , \, \}_x$ и $\{\, , \, \}_a$, где элемент $a$ сингулярный.