Исторический очерк


В 1950-е гг. на мехмате существовал знаменитый семинар по группам Ли, который вёл Евгений Борисович Дынкин. Его участниками в разные годы были Ф.И. Карпелевич, Ф.А. Березин, И.И. Пятецкий-Шапиро, А.Л. Онищик, А.С. Шварц, А.А. Кириллов, Э.Б. Винберг, С.Г. Гиндикин, М.И. Фрейдлин, В.Н. Тутубалин, М.Г. Шур, Д.Б. Фукс, Г.Н. Тюрина. Евгений Борисович был учеником Андрея Николаевича Колмогорова, под руководством которого он занимался теорией вероятностей, но в 1944 г. он, будучи студентом 4-го курса, участвовал в семинаре по группам Ли, который вёл Израиль Моисеевич Гельфанд. Ему было поручено рассказать на семинаре классификацию простых групп Ли. Готовясь к этому докладу, он придумал системы простых корней, значительно упрощающие классификацию. С этого началась его работа в теории групп Ли, принёсшая ему мировую известность. Но уже около 1955 г. он полностью переключился на теорию вероятностей (где также стал общепризнанным классиком). Таким образом, когда он руководил семинаром по группам Ли, он сам уже занимался только теорией вероятностей. (Некоторые из участников этого семинара также впоследствии переключились на теорию вероятностей.) Более подробно о семинаре Дынкина по группам Ли можно прочитать в замечательной статье С.Г. Гиндикина, опубликованной в сборнике статей "Lie Groups and Lie Algebras: E.B. Dynkin's Seminar", AMS Translations, Series 2, vol.169.

Семинар Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика, учеников Е.Б. Дынкина, был задуман как продолжение семинара Дынкина. Он начал свою работу в 1961 г., когда его руководители были только что принятыми на работу ассистентами кафедры высшей алгебры. В первые годы, следуя традиции Дынкина, на семинаре обсуждали широкий круг вопросов от канторовской теории множеств до групп Ли.

Поворотным моментом стал 1967/68 учебный год, когда на семинаре было предпринято систематическое изучение теории алгебраических групп с акцентом на её приложение к теории групп Ли (идея, восходящая к К. Шевалле). Основными источниками были статья А. Бореля "Groupes linéaires algébriques" (1956), семинар Шевалле, семинар "Софус Ли" (переведённый на русский язык Э.Б. Винбергом) и монография К. Шевалле "Теория групп Ли". Студенты – участники семинара были разбиты на группы по 4-5 человек, возглавляемые аспирантами. На самом семинаре руководители излагали теоретический материал, большей частью в виде последовательности задач, а решения этих задач разбирались в каждой из групп в промежутке между заседаниями семинара. В процессе работы семинара были, в частности, найдены более простые доказательства некоторых теорем, нежели имевшиеся в литературе.

Итогом этого этапа работы семинара явилась монография Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. "Семинар по алгебраическим группам и группам Ли", изданная в ротапринтном виде в МГУ в 1969 г. Как и на семинаре, почти весь материал был в ней изложен в виде последовательности задач (снабжённых указаниями). При подготовке этой монографии были использованы записки участников семинара Е.М. Андреева, В.Г. Каца, Б.Н. Кимельфельда и А.К. Толпыго. В составлении таблиц разложений тензорных произведений неприводимых представлений (приобретших впоследствии большую популярность) принимали участие Б.Н. Кимельфельд, Б.О. Макаревич, В.Л. Попов и А.Г. Элашвили.

Значительно переработанный и дополненный (но сохранивший оригинальную форму последовательности задач) вариант этой монографии вышел в издательстве "Наука" в 1988 г., а его английский перевод, выполненный участником семинара Д.А. Лейтесом, — в издательстве "Springer" в 1990 г.

Следующим важным расширением тематики семинара стала его теоретико-инвариантная компонента, подготовленная работами Э.Б. Винберга, А.Г. Элашвили, Е.М. Андреева, В.Л. Попова, В.Г. Каца, Д.И. Панюшева и П.И. Кацыло. В течение нескольких лет под руководством Э.Б. Винберга и В.Л. Попова работал отдельный семинар по теории инвариантов. В 1986 г. он влился в семинар по группам Ли, который с тех пор стал называться семинаром по группам Ли и теории инвариантов, и В.Л. Попов был соруководителем этого семинара в 1986-2000 гг.

Следующие два собрания трудов участников семинара были изданы Американским математическим обществом:

  • "Lie Groups, Their Discrete Subgroups, and Invariant Theory" (E.B. Vinberg, Ed.), Advances in Soviet Mathematics, vol.8, 1992;
  • "Lie Groups and Invariant Theory" (E. Vinberg, Ed.), Amer. Math. Soc. Transl., Ser.2, vol.213, 2005.

В настоящее время семинар охватывает широкий круг тем: структура и представления групп и алгебр Ли, геометрия и топология однородных пространств, теория инвариантов и алгебраические группы преобразований, эквивариантная симплектическая геометрия, дискретные подгруппы групп Ли, супералгебры Ли, алгебры Каца–Муди, квантовые группы и др.

Аркадий Львович Онищик, многолетний соруководитель семинара "Группы Ли и теория инвариантов", скоропостижно скончался 12 февраля 2019 года на 86 году жизни.

Эрнест Борисович Винберг, выдающийся математик, организатор и постоянный руководитель семинара "Группы Ли и теория инвариантов", скончался 12 мая 2020 года на 83 году жизни после тяжелой болезни.

Светлая память Эрнесту Борисовичу и Аркадию Львовичу!