Программа спецкурса «Инварианты конечных групп»

Лектор – доцент И. В. Аржанцев

Осенний семестр 2009 года

1. Группы автоморфизмов алгебры многочленов и их инварианты. Примеры вычисления алгебр инвариантов для циклических групп и групп перестановок. Мономиальные подалгебры. Примеры не конечно порожденных подалгебр в алгебре многочленов.
2. Первое доказательство конечной порожденности алгебры инвариантов конечной линейной группы в характеристике нуль: теорема Гильберта о базисе идеала, нетеровы кольца и модули, оператор усреднения. Градуированные алгебры, однородные подалгебры и идеалы, градуировка на факторалгебре.
3. Второе доказательство конечной порожденности алгебры инвариантов конечной линейной группы в характеристике нуль: оценка Нетер. Контрпример к оценке Нетер в положительной характеристике.
4. Третье доказательство конечной порожденности алгебры инвариантов конечной группы автоморфизмов алгебры многочленов для произвольной характеристики: целые расширения алгебр, их свойства, теорема Артина-Тейта.
5. Целозамкнутые алгебры. Целозамкнутость факториальной алгебры и алгебры инвариантов для действия произвольной группы на целозамкнутой алгебре.
6. Поле рациональных инвариантов.
7. Базис трансцендентности и степень трансцендентности алгебры без делителей нуля.
8. Теорема Гильберта о нулях: слабая и сильная формы. Лемма Нетер о нормализации.
9. Группы, порожденные псевдоотражениями. Примеры: серии A_n, B_n, D_n, группы диэдра.
10. Теорема Шевалле о свободности алгебры инвариантов конечной группы порожденной псевдоотражениями.
11. Критерий алгебраической независимости набора многочленов в терминах якобиана.
12. Выражение порядка группы и числа псевдоотражений в ней через степени свободных порождающих алгебры инвариантов.
13. Теорема Шепарда-Тода.