Вопросы к коллоквиуму
2 курс, 1 поток, 2010/2011 уч.г.
лектор – проф. А.В.Михалев
1. Порядок элемента группы, порядок степени элемента.
2. Циклические группы, их подгруппы.
3. Подгруппа, порожденная подмножеством элементов группы.
4. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа, ее следствия (теоремы Эйлера и Ферма).
5. Нормальные подгруппы.
6. Центр группы, централизатор элемента.
7. Коммутант группы.
8. Факторгруппа по нормальной подгруппе.
9. Факторгруппы по коммутанту и центру.
10. Гомоморфизмы групп, нормальность ядра, канонический гомоморфизм на факторгруппу.
11. Изоморфизмы групп, классификация циклических групп.
12. Теорема о гомоморфизме (первая теорема об изоморфизме).
13. Теорема о гомоморфизме (вторая теорема об изоморфизме).
14. Теорема о гомоморфизме (третья теорема об изоморфизме).
15. Группа автоморфизмов группы, подгруппа внутренних автоморфизмов.
16. Прямые произведения (суммы) групп. Факторизация по прямым слагаемым.
17. Критерий цикличности прямой суммы циклических групп. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических групп.
18. Условия расщепляемости короткой точной последовательности абелевых групп.
19. Периодическая часть абелевой группы.
20. Свободная абелева группа, ее ранг, равенство нулю ее периодической части.
21. Свойства свободной абелевой группы (универсальное, накрывающее, расщепляющее).
22. Подгруппы свободных и конечно порожденных абелевых групп.
23. Задание конечно порожденных абелевых групп образующими и соотношениями.
24. Целочисленные матрицы, приведение к каноническому диагональному виду.
25. Теорема о разложении конечно порожденных абелевых групп в прямую. сумму циклических групп (свободных и конечных примарных циклических групп).
26. Примарные компоненты.
27. Единственность разложения конечной примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических групп.
28. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.
29. Действие групп на множествах, орбиты и стабилизаторы.
30. Разложение подстановки в произведение непересекающихся циклов.
31. Регулярное действие группы, теорема Кэли.
32. Действие группы сопряжениями, разбиение на классы сопряженных элементов.
33. Нетривиальность центра конечной р-группы.
34. Группа порядка р2 абелева.
35. Первая теорема Силова.
36. Вторая теорема Силова.
37. Третья теорема Силова.