1. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность.

2. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при замене базиса. Изоморфизм пространств одинаковой размерности.

3. Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения подпространств.

4. Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм. Критерий линейной независимости векторов.

5. Задание подпространств линейной однородной системой уравнений.

6. Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа.

7. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.

8. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.

9. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.

10. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.

11. Спектр оператора. Критерий диагонализируемости линейного оператора.

12. Минимальный многочлен, его существование и единственность.

13. Теорема Гамильтона-Кэли и ее следствия.

14. Разложение подпространства в сумму корневых подпространств.

15. Нормальный базис для нильпотентного оператора.

16. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной матрицы.

17. Единственность жордановой нормальной формы.

18. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса. Канонический базис для симметрической билинейной формы.

19. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа.

20. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

21. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

22. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.

23. Евклидово пространство. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

24. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

25. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.

26. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортогонального базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

27. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

28. Ортогональный оператор и его канонический базис.

29. Полярное разложение линейного оператора.

30. Унитарное пространство, существование ортонормированного базис, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

31. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид.

32. Аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах координат.

33. Подпространства в аффинном пространстве и их пересечение. Задание подпространств системами линейных уравнений.

34. Евклидовы пространства, расстояние от точки до плоскости.

35. Расстояние между плоскостями в евклидовом пространстве. Определитель Грама и объем параллелепипеда.

36. Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной фиксированную точку.

37. Движения евклидова пространства, их представление в виде произведения сдвига и движения с неподвижной точкой.

38. Классификация движений в двумерном и трехмерном пространствах.

39. Понятие тензора, тензоры малых рангов, произведение тензоров. Базис и размерность пространства тензоров типа (p,q).

40. Изменение координат тензора при замене базиса.

41. Свертка тензора, ее координаты.

42. Симметризация и альтернирование тензоров.

43. Тензорная алгебра. Внешняя алгебра векторного пространства.

44. Базис и размерность внешней алгебры векторного пространства.

45. Связь внешнего произведения с определителем.