Department of Higher Algebra

Осенний семестр 2010/2011 учебного года

Алгебра, 1-й курс, 2-й поток

пон. 10-45 – 12-20 (П-11, 2-ГУМ), четв. (1-ая неделя) 9-00 – 10-35 (ауд. 14-08)

—-

1. (2.09.2010) Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
2. (6.09.2010) Свойства отображений. Ассоциативность композиции. Обратное отображение. Подстановки. Их количество. Задание подстановок. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Четность.
3. (13.09.2010) Изменение четности при транспозиции. Понятие группы. Примеры и простейшие свойства. Понятие гомоморфизма групп. Примеры и простейшие свойства. Порождающие элементы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
4. (16.09.2010) Определители. Определитель треугольной матрицы. Полилинейность определителя. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметричность определителя. Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований.
5. (20.09.2010) Определитель с углом нулей. Разложение определителя по строке. Фальшивое разложение. Теорема Крамера. Определитель Вандермонда.
6. (27.09.2010) Операции с матрицами. Свойства. Ассоциативность умножения матриц. Матричная запись систем линейных уравнений. Понятие кольца, поля, тела. Обратимые элементы и делители 0. Кольцо матриц. Единичная матрица. Обратная матрица. Формула для обратной матрицы.
7. (30.09.2010) Делители нуля в кольце матриц. Невырожденные матрицы. Критерий обратимости матрицы. Матричные единицы. Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Определитель произведения матриц. Полная и специальные линейные группы.
8. (04.10.2010) Понятие векторного пространства. Примеры. Арифметическое векторное пространство. Линейная зависимость. Линейная зависимость m векторов в n-мерном арифметическом пространстве (m>n). Основная лемма о линейной зависимости. Базисы. Срандартный базис R^n. Размерность. Ранг. Следствия из леммы о линейной зависимости.
9. (11.10.2010) Критерий невырожденности матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера Капелли. Ранг произведения матриц.
10. (14.10.2010) Алгоритм нахождения базиса системы векторов и подпространства R^n. Связь решений неоднородной и однородной систем линейных уравнений. Множество решений однородной системы – пространство. Его базис (фундаменталная система решений) и размерность. Задание подпространств в R^n как линейных оболочек векторов и как множеств решений однородных систем. Понятие поля (напоминание).
11. (18.10.2010) Характеристика поля. Кольца вычетов. Обратимые элементы и делители 0. Когда кольцо вычетов является полем. Поле комплексных чнсел.
12. (25.10.2010) Изоморфизмы объектов в алгебре. Поле комплексных чисел (аксиоматическое определение). Алгебраическое и геометрическое представление. Комплексное сопряжение. Понятие алгебры. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
13. (28.10.2010) Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Группа корней из 1. Ее изоморфизм с группой вычетов. Первообразные корни. Кольцо многочленов (над коммутативным ассоциативным кольцом с 1).
14. (1.11.2010) Алгебра многочленов. Подстановка элемента в многочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Понятие делимости (в кольцах). Свойства. Деление многочленов с остатком. Понятие евклидова кольца. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
15. (8.11.2010) Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем. Следствия. Число корней многочлена. Общее определение факториального кольца. Примеры. Функциональное равенство многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа.
16. (11.11.2010) Дифференцирования. Дифференцирования алгебры многочленов (от одной переменной). Кратные множители и корни. Понижение кратности при дифференцировании. Отделение кратных множителей. Формула Тейлора.
17. (15.11.2010) Формулы Виета. Алгебраически замкнутые поля. Сходимость последовательностей комплексных чисел. Лемма о возрастании модуля многочлена. Лемма Даламбера. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел.
18. (22.11.2010) Конструкция поля частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение в сумму простейших.
19. (23.11.2010) Многочлены от нескольких переменных. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
20. (25.11.2010) Степень многочленов от нескольких переменных. Однородные многочлены. Свойства. Симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Старший член. Его свойства. Теорема о симметрических многочленах.
21. (9.12.2010) Результант и дискриминант.
22. (13.12.2010) Результант и дискриминант. Подгруппы, порожденные элементами. Примеры. Циклические группы. Порядки элементов. Гомоморфизмы групп. Их свойства. Изоморфизмы. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Подгруппы циклических групп.
23. (14.12.2010) Разложение на смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия. Мультипликативная группа конечного поля. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме.

back to my homepage