Вторник 12-30 – 14-05, 512 гр. (ауд. 14-14)
7.09.2010 Кольца. Поля. Идеалы. Факторкольца. Теорема и гомоморфизме. Простые и максимальные идеалы. Кольца главных идеалов и факториальные кольца.
14.09.2010 Поля. Простые поля. Характеристика поля. Расширения полей. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Присоединение к полю алгебраического элемента. Теорема о башне полей. Алгебраические элементы образуют поле. Первая структурная теорема о строении конечных полей.
21.09.2010 Вторая структурная теорема о строении конечных полей. Мультипликативная группа конечного поля. Следствия. Конструкция алгебраического замыкания конечного поля. Отображение Фробениуса. Совершенные поля. Алгебраическое расширение совершенного поля. Сепарабельность (определения).
28.09.2010 Сепарабельность. Свойства. Алгебраическое расширение совершенного поля сепарабельно. Чисто несепарабельные элементы. Алгебраическая зависимость. Базисы трансцендетности. Степень трансцендетности. Число элементов базиса не зависит от его выбора.
5.10.2010 Алгебраические множества (многообразия). Топология Зарисского. Связь с идеалами. Неприводимые многообразия. Лемма о двух многочленах. Алгебраические подмножества аффинной плоскости. Разложение на неприводимые компоненты (без доказательства).
12.10.2010 Разложение на неприводимые компоненты (случай поднмогообразий A^2). Кольцо регулярных функций. Поле рациональных функций. Локальное кольцо точки. Его максимальный идеал. Размерность. Геометрический смысл размерности. Следствия. КАсательное пространство Зарисского. Особые и неособые точки.
19.10.212.10.2010 Проективные алгебраические многообразия. Градуированные кольца. Однородные идеалы. Однородное координатное кольцо. Поле рациональных функций. Теорема Безу. Аффинные карты.
26.10.2010 Поле рациональных функций проективного многообразия. Регулярные функции на проективном многообразии. Гессиан. Точки перегиба плоских кривых.
2.11.2010 Нормальная форма Вейерштрасса. Точки перегиба кубических кривых. Их свойства.
9.11.2010 Автоморфизмы и точки перегиба. j-инвариант.
16.11.2010 Групповой закон на эллиптической кривой. Лемма о кубических кривых. Доказательство ассоциативности (для общих точек).
23.11.2010 Явные формулы для группового закона. Эллиптические кривые над незамкнутими полями. Точки порядка 2 и 3. Эллиптические кривые над С. Понятие римановой поверхности. Комплексные торы. Эллиптические функции. Теоремы Лиувилля.
26.11.2010 Поле эллиптических функций. Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса. Групповой закон и эллиптические функции.
13.12.2010 Рациональность алгебраических кривых. Примеры. Нерациональность эллиптических кривых.