Михаил Александрович Михеенко

22 марта 2024. _{Возможно, мы будем транслировать доклад в зум, тыкайте сюда, но лучше приходите в 13-02.}

Доклад посвящён разрешимости систем уравнений в абелевых группах. Исследуется следующий вопрос: какой должна быть абелева группа А, чтобы любая (даже бесконечная) унимодулярная система уравнений над А имела решение в самой А? В частности, получен следующий критерий: Пусть А — периодическая абелева группа. Тогда любая (не обязательно конечная) унимодулярная система уравнений над А имеет решение в самой А тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы А имеет ограниченный период. Например, группа ℤ_n в этом отношении хорошая (то есть содержит в себе решение любой унимодулярной системы уравнений над собой), а группы ℤ₂⊕ℤ₃⊕ℤ₅⊕... и ℤ₂⊕ℤ₄⊕ℤ₈⊕... — плохие. Этот результат позволяет сказать что-то и о нильпотентных группах. О конечных системах уравнений над нильпотентными группами довольно много говорит теорема Шмелькина. Но случай бесконечных систем несколько отличается, что видно даже на абелевых группах: в группе ℤ₂⊕ℤ₃⊕ℤ₅⊕... разрешимы все конечные унимодулярные системы над этой группой, но не все бесконечные.