Лекции. Линейная алгебра и геометрия. Лектор - М.В. Зайцев

Лекция № 1. Определение векторного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса.

Лекция № 2. Изоморфизм векторных пространств. Подпространства. Линейная комбинация и линейная оболочка векторов. Сумма и пересечение подпространств. Закон модулярности. Размерность суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.

Лекция № 3. Линейные формы. Сопряженное пространство.Дуальные базисы. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств. Связь подпространств и наборов решений систем линейных уравнений.

Лекция № 4. Линейные отображения, их задание матрицами. Ядро, образ и ранг линейного отображения Связь размерностей ядра и образа. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора, ее изменение ппри замене базиса. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности линейного оператора.

Лекция № 5. Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственныа векторы и собственные значения. Характеристический многочлен, характеристические значения. Геометрическая и алгебраическая кратности, их взаимосвязь. Диагонализируемые операторы. Диаонализируемость оператора с простым спектром.

Лекция № 6. Критерий диагонализируемости в терминах геометрической и алгебраической кратностей. Минимальный многочлен, его существование и единственнность. Теорема Гамильтона - Кэли.