Краткое содержание. (Во многом это повторение 1 семестра)

Аксиомы векторного пространства (ВП)(над произвольным полем F). Загадка: одна из аксиом является следствием других; определите (обоснованно), какая.

Определение базиса и размерности. Матричная запись разложения по базису, операции с координатами.

Матрица перехода C_{e –> e'} от старого базиса к новому, определение (матричное), ее свойства. Формула замены координат вектора. Алгоритм вычисления матрицы перехода.

Определение, примеры пространств с подпространствами.

Экзотический пример: множество всех подмножеств данного множества с операцией симметрической разности как ВП над полем Z_2 (без проверки всех свойств).

Упомянуты два основных способа задания подпространств: 1. Как линейной оболочки. 2. Системой линейных уравнений. Переход от 1 к 2 будет рассказан на 2-й лекции.

Блочные матрицы, умножение блочной строки на блочный столбец. Переход от 2 к 1: алгоритм построения (стандартной) фундаментальной системы решений ОСЛУ. Фундаментальная матрица, ее запись по улучшенному ступенчатому виду матрицы системы (с отброшенными нулевыми строками) в блочном виде.

Переход от 1 к 2. Два способа. 1)способ. Данные векторы представить как фундаментальную матрицу искомой системы. Предварительно матрицу из строк данных векторов упростить до улучшенного ступенчатого вида, транспонировать - это будет стандартная фундаментальная матрица. А по ней записать матрицу системы (имеющую улучшенный ступенчатый вид). 2) способ. К матрице из столбцов координат данных векторов приписать столбец координат произвольного вектора из линейной оболочки, э.п.строк привести матрицу к ступенчатому виду. Комбинации неизвестных, продолжающие нулевые строки, приравнять к нулю.

Утв.1.а) Пересечение любого семейства подпространств - подпространство. б). Объединение даже двух может не быть подпространством.

Определение суммы конечного числа подпространств.

Утв. 2. Сумма - подпространство. Формула Грассмана для размерности суммы двух подпространств - дана идея доказательства. Вопрос: можно ли размерность суммы трех подпространств вычислять также по формуле включений-исключений?

Окончание доказательства формулы Грассмана.

Алгоритм для поиска размерностей и базисов суммы и пересечения. Пусть в некотором базисе пространства V известны координаты базисных векторов a_1,…,a_{n_1} подпространства U_1 и b_1,…,b_{n_2} подпространства U_2.1) Составить из столбцов координат этих векторов матрицу, э.п. строк привести ее к улучшенному ступенчатому виду и тем самым выделить базис суммы, включая, скажем, базис первого подпространства и m векторов b_1,…,b_m второго подпространства, с точностью до нумерации. (n_1+m= dim(U_1+U_2)). Тогда размерность пересечения равна n_2 - m. 2) Выразить векторы b_j (j=m+1,…,n_2) в виде линейной комбинации векторов a_1,…,a_{n_1} и b_1,…,b_m. Перенеся для каждого j линейную комбинацию b_1,…,b_m к вектору b_j, получим базис пересечения.

Определение прямой суммы конечного числа подпространств (сумма и единственность представления в виде суммы). Теорема 1. 4 равносильных условия для прямой суммы двух подпространств: 1. Определение. 2. Нулевое пересечение. 3. Размерность суммы. 4. Базис суммы - объединение базисов слагаемых — с док-вом. Теорема 1'. Для любого конечного числа подпространств: условие 2 для пересечения изменяется.

Алгоритм дополнения конечной линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного ВП: составить матрицу из столбцов координат данных векторов, дописать к ней единичную матрицу, выделить базисные столбцы полученной расширенной матрицы, включая данные векторы.

сведение ее к прямой сумме подпространств.

Определение факторпространства V/U. Будет развито на лекции 4.