Лектор: Маркова Ольга Викторовна
Лекции проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) и по четвергам на 4-й паре каждой чётной (нижняя неделя в расписании) неделе (15:00-16:35) в аудитории 16-24.
Литература:
Для дальнейшего изучения различных разделов алгебры можно рекомендовать книги:
Материалы:
Планируемые темы лекций:
№1 (04.09.2023) Общая структура курса. Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому и улучшенному ступенчатому видам. Метод Гаусса.
№2 (07.09.2023) Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов).
№3 (11.09.2023) Ранг матрицы: определения строчного и столбцового рангов матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).
| №4 (18.09.2023) | Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность). |
№5 (21.09.2023) Чётность и знак подстановки. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность).
№6 (25.09.2023) Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя.
№7 (02.10.2023) Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). Операции над матрицами и их свойства.
| №8 (05.10.2023) | Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы. |
№9 (09.10.2023) Формула вычисления элементов обратной матрицы. Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Ранг суммы и произведения матриц.
№10 (16.10.2023) Факторизационный ранг матрицы. Матрицы ранга 1. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация.
№11 (19.10.2023) Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
№12 (23.10.2023) Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальные подгруппы.
№13 (30.10.2023) Нормальные подгруппы и фактор-группы. Основные алгебраические структуры: кольца, поля.
№14 (02.11.2023) Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра.
№15 (13.11.2023) Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
№16 (16.11.2023) Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены.
№17 (20.11.2023) Факториальность кольца многочленов. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней.
№18 (27.11.2023) Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел.
№19 (30.11.2023) Задача интерполяции. Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
№20 (04.12.2023) Границы корней многочлена. Теорема Декарта (без доказательства). Метод Штурма отделения вещественных корней многочлена.
№21 (11.12.2023) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета.
№22 (18.12.2023) Дискриминант многочлена, выражение дискриминанта через корни многочлена. Решение уравнений 3 и 4 степеней.