Лектор: Д.А.Тимашёв
Лекции читаются по понедельникам еженедельно на 2-й паре (10:45-12:20) и по пятницам на каждой чётной неделе на 1-й паре (9:00-10:45) а ауд. 12-08.
Объявление: в понедельник 11 мая лекции не будет.
Кольца и алгебры (напоминание): определение, типы колец и алгебр, примеры. Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.
Модули над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над $\mathbb{Z}$, регулярный бимодуль). Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей. Прямая сумма колец и алгебр, её интерпретация как прямой суммы идеалов.
Прямая сумма модулей, её универсальное свойство. Тензорное произведение модулей: определение через универсальное свойство, существование и единственность, структура бимодуля.
Свойства тензорного произведения: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность. Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров.
Пространства полилинейных функций и тензоров на векторном пространстве. Тензорное произведение колец и алгебр.
Линейные представления математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления.
Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. Гомоморфизмы, эндоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям. Лемма Шура о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. Кратности неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и изотипные компоненты, их единственность и структура.
Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, радикал. Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом.
Полупростые ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. Теорема Бернсайда об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении. Теорема Веддербёрна о структуре простых конечномерных ассоциативных алгебр.
Теорема Веддербёрна-Артина о структуре полупростых конечномерных ассоциативных алгебр. Полная приводимость представлений полупростых алгебр, описание неприводимых представлений, их количество и сумма квадратов размерностей.
Линейные представления групп, примеры: представления циклических групп, мономиальное представление симметрической группы, представление аддитивной группы $\mathbb{R}$ вращениями евклидовой плоскости, представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Теоретико-представленческие конструкции: сопряжённое представление.
Теоретико-представленческие конструкции: ограничение линейного представления на подгруппу, тензорное произведение линейных представлений. Неприводимость представления сохраняется при переходе к сопряжённому представлению. Неприводимые представления прямого произведения групп над алгебраически замкнутым полем. Одномерные представления групп, их структура. Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем одномерны. Описание одномерных комплексных представлений конечных групп. Пример: одномерные представления группы $S_n$. Пример не вполне приводимого линейного представления группы.
Ортогональные и унитарные линейные представления, их полная приводимость.
Групповая алгебра. Биекция между линейными представлениями группы и её групповой алгебры. Регулярное представление группы. Полупростота групповой алгебры конечной группы над полем нулевой характеристики и полная приводимость линейных представлений (теорема Машке). Количество и сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений конечной группы.
Матричные элементы линейных представлений, независимость пространства матричных элементов от выбора базиса. Разложение пространства $\mathbb{C}$-значных функций на конечной группе в прямую сумму пространств матричных элементов неприводимых представлений. Центральные функции и характеры линейных представлений, свойства характеров.
Характеры неприводимых комплексных представлений образуют ортонормированный базис пространства центральных функций на конечной группе. Вычисление кратности неприводимого представления как скалярного произведения характеров, скалярный квадрат характера равен сумме квадратов кратностей. Однозначная определяемость линейного представления своим характером. Мономиальное представление группы $S_n$, его характер и разложение в прямую сумму тривиального одномерного представления и стандартного $(n-1)$-мерного неприводимого представления. Описание неприводимых представлений группы $S_n$ при $n\le4$. Таблица характеров неприводимых представлений группы $S_4$.
Использование характеров в решении задач теории представлений (пример: разложение тензорного произведения неприводимых представлений группы $S_4$ на неприводимые слагаемые).
Линейные группы Ли. Подгруппа в $GL_n$, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: $SL_n$, $O_n$.
Линейная группа Ли замкнута в $GL_n$. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы. Связная компонента единицы в произвольной группе Ли. Алгебры Ли, структура алгебры Ли на пространстве квадратных матриц. Касательная алгебра Ли линейной группы Ли, примеры: $SL_n$, $O_n$, $U_n$. Экспоненциальное отображение.
Свойства экспоненциального отображения. Связная линейная группа Ли однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли.
Линейные представления групп Ли и алгебр Ли, модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли. Линейные представления аддитивной группы Ли поля $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.
Компактные группы Ли, примеры. Выпуклые множества в многомерном пространстве, их свойства. Центр масс выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье.
Вещественные формы комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении. Редуктивные группы Ли. Унитарный трюк Вейля: полная приводимость представлений редуктивных групп. Линейные представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, описание неприводимых представлений.
Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SL_2(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})$. Двулистные накрытия $SL_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{C})$ и $SU_2(\mathbb{C})\to SO_3(\mathbb{R})$. Описание неприводимых комплексных линейных представлений групп Ли $SO_3(\mathbb{C})$ и $SO_3(\mathbb{R})$. Гармонический анализ на 2-мерной сфере: постановка задачи.
Гармонический анализ на 2-мерной сфере, сферические функции Лапласа.
Проблема вложения алгебры Ли в ассоциативную алгебру. Универсальная обёртывающая алгебры Ли. Эквивалентность линейных представлений алгебры Ли и её универсальной обёртывающей алгебры.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебра Клиффорда векторного пространства с квадратичной формой.
Градуировка алгебры Клиффорда по модулю 2 (структура супералгебры). Структура алгебры Клиффорда, её базис и размерность, случай нулевой квадратичной формы. Центральная простота алгебры Клиффорда или её чётной части для векторного пространства с невырожденной квадратичной формой.