Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [17.10.2025 12:48]
klyachko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [28.11.2025 12:53] (текущий)
klyachko
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 ----
+== 28 ноября ==
+Всякое конечное расширение конечного поля простое.
+То же верно для полей нулевой характеристик,
+но это оставил в качестве трудного упражнения.
+Пример конечного непростого расширения
+(доказательство оставил в качестве упражнения).
+Автоморфизы конечных полей и подполя конечных полей:
+полное описание.
+Представления:
+определения,
+примеры,
+изоморфизм,
+прямая сумма.
+== 24 ноября ==
+Поле разложения: существование и единственность, примеры.
+Классификация конечных полей.
+Упражнение (которое я обещал решить в следующий раз):
+конечное поле является простым расширением простого подполя (и, стало быть, есть неприводимые многочлены всех степеней).
+== 17 ноября ==
+Теорему о строении простых расширений додоказали.
+Алгебраичность конечномерных расширений.
+Присоединение корня многочлена.
+Теорема о башне расширений.
+Алгебраические элементы образуют подполе.
+Поле алгебраических чисел (является
+полем и) алгебраически замкнуто.
 **{{::kol-o25.pdf|Программа коллоквиума}}** (который ожидается с 10 по 17 ноября)
-----
+== 14 ноября ==
+Когда факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем является полем?
+К каким полям такая конструкция приводит над полем вещественных чисел? Упражнение:
+$\mathbb R[x]/(x^2-1)\mathbb R[x]$ изоморфно.... Явный вид поля из восьми элементов.
+Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Теорема о строении простых расширений
+(недодоказали: осталось алгебраический случай рассмотреть).
+== 10 ноября ==
+Факторкольца и факторалгебры.
+Теорема о гомоморфмзмах.
+Идеалы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов.
+Идеалы в кольце матриц над полем (и над телом);
+ над произвольными ассоциативными кольцами оставил в качестве упражнения. Простые кольца и алгебры.
+Кольца главных идеалов:
+кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем —-
+КГИ (а многочлены от двух переменных над полем и от одной переменной над $\mathbb Z$ —- нет —- это оставил как упражнение).
+== 1 ноября (вместо 3 ноября) ==
+Додоказали простоту знакопеременных групп.
+Обсудили классификацию конечных простых
+(: без доказательства :).
+Теорема о соответствии подгрупп при эпиморфизмах
+(нормальные соответствуют нормальным и факторгруппы по ним изоморфны).
+Кольца, алгебры, подкольца и подалгебры.
+Примеры.
+Гомоморфизмы колец и алгебр, идеалы.
+== 31 октября ==
+Произведение подгрупп, одна из которых нормальна.
+AB/A. Теорема Жордана—Гёльдера. Примеры композиционных рядов. Сопряжённость в симметрических и знакопеременных
+группах (в знакопеременных частично —- ненужную (для доказательства простоты) часть оставил в качестве упражнения.
+Простота знакопеременных групп
+(не успели разобрать гипотетический случай, когда нормальная подгруппа имеет период два).
+== 27 октября ==
+Доказали, что знакопеременная группа порождается
+тройными циклами, а специальная линейная группа —-
+трансвекциями. Разрешимые группы —- замкнутость относительно подгрупп, факторгрупп и расширений.
+Какие симметрические группы разрешимы?
+Разрешимость конечных пэ-групп и группы треугольных матриц (с оценкой ступени).
+ Простые группы (без примеров пока).
+Композиционный ряд —- существование для любой конечной группы.
+== 20 октября ==
+Транзитивные действия, в которых каждый элемент имеет неподвижную точку. Покрытие группы сопряжёнными подгруппами.
+Коммутаторы и коммутант. Коммутант —- наименьшая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева.
+Коммутанты симметрической, знакопеременной и полной линейной группы (для большого поля) —- исключительные случаи оставил в качестве упражнений. Порождённость знакопеременной группы тройными циклами и специальной линейной группы трансвекциями оставил как упражнения, но обещал доказать в следующий раз. Ещё сложное упражнение:
+пример группы, у которой коммутант состоит не только из коммутаторов.
 == 17 октября ==