Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [10.11.2025 14:13]
klyachko
+++ лекции_2_курс_1_поток_осень_2025 [28.11.2025 12:53] (текущий)
klyachko
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 ----
+== 28 ноября ==
+Всякое конечное расширение конечного поля простое.
+То же верно для полей нулевой характеристик,
+но это оставил в качестве трудного упражнения.
+Пример конечного непростого расширения
+(доказательство оставил в качестве упражнения).
+Автоморфизы конечных полей и подполя конечных полей:
+полное описание.
+Представления:
+определения,
+примеры,
+изоморфизм,
+прямая сумма.
+== 24 ноября ==
+Поле разложения: существование и единственность, примеры.
+Классификация конечных полей.
+Упражнение (которое я обещал решить в следующий раз):
+конечное поле является простым расширением простого подполя (и, стало быть, есть неприводимые многочлены всех степеней).
+== 17 ноября ==
+Теорему о строении простых расширений додоказали.
+Алгебраичность конечномерных расширений.
+Присоединение корня многочлена.
+Теорема о башне расширений.
+Алгебраические элементы образуют подполе.
+Поле алгебраических чисел (является
+полем и) алгебраически замкнуто.
 **{{::kol-o25.pdf|Программа коллоквиума}}** (который ожидается с 10 по 17 ноября)
-----
+== 14 ноября ==
+Когда факторкольцо кольца многочленов от одной переменной над полем является полем?
+К каким полям такая конструкция приводит над полем вещественных чисел? Упражнение:
+$\mathbb R[x]/(x^2-1)\mathbb R[x]$ изоморфно.... Явный вид поля из восьми элементов.
+Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Теорема о строении простых расширений
+(недодоказали: осталось алгебраический случай рассмотреть).
 == 10 ноября ==
@@ Строка 14: / Строка 56: @@
 Идеалы —- это в точности ядра всевозможных гомоморфизмов.
 Идеалы в кольце матриц над полем (и над телом);
- над произвольными ассоциативными кольцами оставил в качестве упражнения.
+ над произвольными ассоциативными кольцами оставил в качестве упражнения. Простые кольца и алгебры.
 Кольца главных идеалов:
 кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем —-
-КГИ (а многочлены от двух переменных и от одной переменной над Z —- нет —- это оставил как упражнение).
+КГИ (а многочлены от двух переменных над полем и от одной переменной над $\mathbb Z$ —- нет —- это оставил как упражнение).