Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят на 1-й паре (9:00-10:35) по понедельникам на каждой чётной неделе в ауд. 12-07 и по четвергам еженедельно в ауд. 12-06.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров ($2\times2$ и $3\times3$). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Элементарные преобразования СЛУ и их матриц. Метод Гаусса решения СЛУ.

• 8.1вге, 8.2вгж, 16.1а.

Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции. Арифметическое векторное пространство $\mathbb{R}^n$. Линейная зависимость векторов.

• 8.7, 8.8, 6.3де, 6.4, 6.7вд;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Свойства линейной зависимости. Базис системы векторов. Когда система векторов обладает единственным базисом? Основная лемма о линейной зависимости. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в $\mathbb{R}^n$. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в $\mathbb{R}^n$.

• 6.6, 6.9абд, 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.19★
• доказать, что для подсистемы векторов $B\subseteq S$ следующие условия эквивалентны:
  1. $B$ — максимальная (по включению) линейно независимая подсистема в $S$;
  2. $B$ линейно независима и линейно порождает систему $S$;
  3. $B$ — минимальная (по включению) порождающая подсистема в $S$.

Ранг матрицы, его свойства и вычисление. Подпространства в векторном пространстве, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.3, 7.5, 8.4аб, 8.25★.

Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая матрица. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц.

• 17.1бв, 17.4ав, 17.25, 19.4абв, 19.15.

Умножение на диагональные матрицы. Матричные единицы, умножение на них слева и справа. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Вычисление ранга блочных матриц.

• 17.13, 17.17, 17.26, 19.3абв, 19.14, 7.6, 7.10, 7.11.

Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида $AX=B$. Нахождение обратной матрицы. Разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных матриц.

• 19.4г, 19.21, 18.3взи, 18.4, 18.9кл, 18.17★;
• решить матричное уравнение:
• 
• как изменится $A^{-1}$, если матрицу $A$ подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • записать её строки в обратном порядке;
  • транспонировать относительно побочной диагонали?
• ★ Доказать, что для любой (даже не обязательно квадратной) матрицы A существует квазиобратная матрица, т.е. такая матрица $B$, что $ABA=A$ и $BAB=B$.

Подстановки, их количество. Двухрядная запись подстановок. Умножение подстановок. Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы. Возведение подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• как изменится $A^{-1}$, если матрицу $A$ повернуть на 90º против часовой стрелки?
• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• (Задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле.

• 3.6бвж, 3.11, 3.14, 3.22, 10.4б, 16.2;
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?