Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 14-03 и по четвергам на каждой чётной неделе на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 12-13.

Объявление: занятие с понедельника 1 декабря переносится на субботу 13 декабря, 1-я пара (9:00-10:35).

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Элементарные преобразования СЛУ и их матриц. Метод Гаусса решения СЛУ.

• 8.1вг, 8.2вг.

Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции. Арифметическое векторное пространство Rⁿ. Линейная зависимость и базис системы векторов.

• 8.7, 8.8, 6.4, 6.6, 6.7вд, 6.9абд;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена;
• доказать, что для подсистемы векторов B⊂S следующие условия эквивалентны:
  1. B — максимальная (по включению) линейно независимая подсистема в S;
  2. B линейно независима и линейно порождает систему S;
  3. B — минимальная (по включению) порождающая подсистема в S.

Когда система векторов обладает единственным базисом? Основная лемма о линейной зависимости. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе. Стандартный базис в Rⁿ. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в Rⁿ. Ранг матрицы, его свойства и вычисление.

• 6.12вги, 6.13, 6.14, 7.1дл, 7.3, 7.19★.

Вычисление ранга матрицы. Подпространства в векторном пространстве, примеры: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ, её нахождение.

• 7.2аж, 7.5, 7.6, 7.7, 7.10, 8.4бвг, 8.25★.

Алгебраические операции над матрицами, их свойства, нулевая и единичная матрицы. Некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы.

• 17.1бв, 17.4ав, 17.14, 17.15, 17.25, 19.3аб, 19.4абв, 19.15.

Матричные единицы, умножение на них слева и справа. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Обратная матрица. Решение матричных уравнений вида AX=B. Нахождение обратной матрицы.

• 17.13, 17.17, 18.3взи, 18.9дкл, 18.17★, 19.14, 19.21;
• решить матричное уравнение:
• 

Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Задача: как изменится A^-1, если записать строки матрицы A в обратном порядке?

Перестановки и подстановки, их количество. Двухрядная запись подстановок. Умножение подстановок.

• 19.3в, 3.1вг;
• как изменится A^-1, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?

Циклические подстановки, разложение произвольной подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках. Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

• 3.2аге, 3.6бвж, 3.11, 3.13, 3.22;
• решить уравнения в подстановках:
  • 
• Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?
• (Задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Свойства определителя, его изменение при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду.

• 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4, 13.1бвж.

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц.

• 13.2ежз, 14.1зкм★н, 15.2бв, 16.19.

Разложение определителя по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 12.2, 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Решение матричного уравнения (1 вариант); нахождение обратной матрицы (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Вычисление трёхдиагонального определителя (1 вариант); решение уравнения в подстановках (2 вариант).

Коллоквиум

Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z-1+i)/(z+1-i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Нахождение cos(2π/5) в алгебраической форме. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

• 22.7еипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2аг.

Многочлены от одной переменной над полем: деление с остатком, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена, формула Тейлора.

• 25.1б, 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.5, 26.7аб, 26.11★.

Разложение многочленов на неприводимые множители. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: НОД(f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных неприводимых множителей в разложении многочлена.

• 25.2вг, 25.3б, 25.5б, 25.7б, 25.8б;
• найти НОД многочленов x^m-1 и xⁿ-1.