Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят в ауд. 404 по средам на каждой чётной неделе на 3-й паре (13:15-14:50) и по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20).

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ), их матрицы, элементарные преобразования. Решение СЛУ методом Гаусса.

• 8.1вг, 8.2а, 8.7.

Задача о полиномиальной интерполяции. Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.2вг, 8.6вд, 8.8, 9.1гд, 9.2ж, 16.1б;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• ;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Арифметическое векторное пространство R^n. Линейная зависимость, базис системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n.

• 6.4, 6.11, 6.13, 6.14.

Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n. Ранг матрицы, его вычисление.

• 6.12вги, 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.7, 7.10.

Ранг суммы матриц. Пространство решений ОСЛУ, фундаментальная система решений.

• 8.4бвг, 8.25★.

Элементы комбинаторики: число размещений, перестановок, сочетаний. Бином Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля. Подстановки: двухрядная запись, умножение, циклические подстановки, разложение на независимые циклы.

• 2.11вгдж, 2.13, 3.1вг, 3.2аге.

Возведение подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

Чётность и знак подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте?

• 3.6бвж, 3.11, 3.13, 3.22бв;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Свойства определителя, его поведение при различных преобразованиях матрицы. Вычисление определителей приведением к треугольному виду.

• 10.4б, 16.2, 11.1вгд, 11.4, 13.1бвж.