Консультация перед экзаменом пройдет
18 января в 13:30 по ссылке семинаров.
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по понедельникам в 13:45 в ауд. 436.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Занятие №1 (7 сентября 2020)
(Повторение из 1-го семестра)
Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы. Порядок группы, порядок элемента, теорема Лагранжа, следствия. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Система порождающих элементов группы. Группа автоморфизмов.
Домашнее задание:
1) 55.5 (к,л), 55.6 (р,с,т), 56.32 (б, в),
• доказать, что множество G с ассоциативной операцией, в котором есть правая единица (элемент e со свойством g·e=g, ∀g∈G) и правый обратный для каждого g∈G (элемент g' со свойством g·g'=e), является группой;
2) 56.3 (без а, в), 56.11, 56.28,
3) 55.17, 58.28, 55.26, (55.20, была в 1-м семестре)
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4, либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6, либо S_3.
4) 55.32 (а,б,в,г)
Занятие №2 (14 сентября 2020)
1) Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия.
2) Нормальные подгруппы
3) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
Домашнее задание:
1) 56.37 (е-к)
2) 58.1 (в,г), 58.2, 58.5, 58.11 (а)
3) 58.30, 58.32, 58.33
Занятие №3 (21 сентября 2020)
Центр. Классы сопряженных элементов
Домашнее задание:
58.24 (б,в,ж), 58.11 (б), 58.20, 57.30 (б,в), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
Занятие №4 (28 сентября 2020)
Централизатор элемента в группе. Сопряженные подгруппы. Централизатор и нормализатор подгруппы в группе.
Домашнее задание: 57.23 б, 57.24 б,в,г, 57.25, 57.31 в, 57.38 б,в
• Найти централизатор подгруппы из задачи 57.38 а.
• Доказать, что централизатор подгруппы является нормальной подгруппой в нормализаторе подгруппы. Привести пример, когда централизатор подгруппы не является нормальной подгруппой во всей группе.
Занятие №5 (5 октября 2020)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.27, 61.28, 61.29, 61.31, 61.32, 61.23 б, 61.33 а
Занятие №6 (12 октября 2020)
Прямые произведения групп
Домашнее задание: 60.2, 60.5 (в), 60.13, 60.14, 60.15, 60.45 (б)
Занятие №7 (19 октября 2020, дистанционно)
Конечно порожденные абелевы группы.
1) Циклические группы. Подгруппы циклических групп.
2) Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
Домашнее задание:
1) 56.16
2) 60.39 (г,д,е), 60.40, 60.41, 60.42 (а,в,г), 60.44 (б,в), 60.43 (б)
Занятие №8 (26 октября 2020)
Конечно порожденные абелевы группы. Элементарные преобразования. (Группа гомоморфизмов абелевых групп, кольцо эндоморфизмов абелевой группы)
Домашнее задание: 60.52 (б,в,д), 60.54, 60.19, 60.20, 60.22, 60.24 (а)
Занятие №9 (2 ноября 2020)
1) Действие группы на множестве. Орбита. Стабилизатор
2) Силовские подгруппы
Домашнее задание:
1) 57.1 (г)+ 57.2 (б), 57.3, 57.9 (б,в), 57.15, 57.12 (в), 57.13 (в), (57.20, 57.21, 58.36, 58.37)
2) 59.20 (в), 59.5, 59.9 (б), 59.10, 59.23, 59.19
Занятие №10, 11 (9, 16 ноября 2020)
Коллоквиум. КР
Занятие №12 (30 ноября 2020)
Линейные и матричные представления групп. Инвариантные подпространства.
Домашнее задание: 69.4 (в-е), 69.5 (ж,з,и), 69.7, 69.8, 69.9,69.13, 69.14, 69.15
Занятие №13 (7 декабря 2020)
Линейные и матричные представления групп. Вполне приводимость. Линейные представления абелевых групп
Домашнее задание: 69.2, 69.12, 70.2 (д,ж,з), 70.10 (б,в), 70.6-9, 70.15
Занятие №14 (14 декабря 2020)
Линейные и матричные представления. Число и размерность неприводимых комплексных представлений конечных групп. Регулярные представления. Характеры
Домашнее задание: 70.34 (в,г,д), 70.37, 70.35 (в,г), 70.4 (б,в), 72.3, 72.14, 72.25 (д), 72.28 (а,в)
Занятие №15 (18 декабря 2020)
Кольца. Поля. Алгебры
https://cloud.mail.ru/public/SCRz/dcMg5cVqy
Домашнее задание:
0) Повторение: 63.1, 63.2, 63.3, 63.11 (б,в,г), 66.1
1) 64.4, 64.5, 64.6, 64.37, 64.41, 64.43, 64. 55(а)
2) 66.18(а), 67.3 (а,г,д,е), 67.13 (а,б,в,г,д)
3) 63.19, 63.20, 63.21 (а)