1. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли. Стандартное скалярное умножение на линейной алгебре Ли. Форма Киллинга. Критерий разрешимости линейной алгебры Ли.
2. Полупростые алгебры Ли. Критерий Картана разрешимости и полупростоты алгебры Ли. Структура полупростой алгебры Ли.
3. Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростой алгебры Ли.
4. Дифференцирования полупростой алгебры Ли. Существование группы Ли с заданной полупростой касательной алгеброй Ли.
5. Замыкание Мальцева. Существование и свойства.
6. Радикал алгебры Ли. Существование и свойства. Радикал группы Ли. Эквивалентные определения полупростой группы/алгебры Ли.
7. Структура полупростой группы Ли.
8. Комплексификация и вещественные формы алгебр Ли. Вещественная форма комплексной группы Ли. Свойства.
9. Разложение Жордана в линейной полупростой алгебре Ли. Абстрактное разложение Жордана в полупростой алгебре Ли. Сохранение разложения Жордана при линейных представлениях полупростой алгебры Ли.
10. Описание неприводимых представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ и группы Ли $SL_{2}$.
11. Подалгебры Картана. Системы корней и корневое разложение полупростой алгебры Ли. Свойства корневого разложения.
12. Свойства системы корней полупростой алгебры Ли.
13. Абстрактные системы корней. Группа Вейля. Свойства. Положительные и отрицательные корни. Простые корни. Подготовительные леммы.
14. Группа Вейля порождается простыми отражениями и действует на множестве возможных простых корней просто транзитивно. Восстановление системы корней по простым корням.
15. Эквивалентные системы корней. Разложение системы корней на компоненты. Матрица Картана. Диаграммы Дынкина. Классификация систем корней.
16. Регулярные элементы в полупростой алгебре Ли. Свойства. Сопряженность подалгебр Картана.
17. Полупростая алгебра Ли однозначно определяется своей системой корней.
18. Система весов линейного представления полупростой алгебры Ли. Решетка весов и решетка корней. Фундаментальные веса. Старший вектор. Свойства инвариантного подпространства, порожденного старшим вектором. Неприводимое представление однозначно определяется своим старшим весом.
19. Теорема существования. Подготовка к доказательству. Соотношения Серра.
20. Теорема существования. Завершение доказательства.