1.  Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.  Базис, размерность.

2.  Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при  замене базиса. Изоморфизм пространств одинаковой размерности.

3.  Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств.  Размерность суммы и пересечения подпространств.

4.  Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм.  Критерий линейной независимости векторов.

5.  Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа. Критерий инъективности.

6.  Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.

7.  Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.

8.  Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.

9. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.

10. Спектр оператора. Критерии диагонализируемости линейного оператора.

11. Минимальный многочлен, его существование и единственность.

12. Теорема Гамильтона-Кэли и ее следствия.

13. Разложение пространства в сумму корневых подпространств.

14. Нормальный базис для нильпотентного оператора.

15. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной  матрицы.

16. Единственность жордановой нормальной формы.

17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса.  Канонический базис для симметрической билинейной формы.

18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа.

19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

20. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

21. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.

22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.

23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.

25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

27. Ортогональный оператор и его канонический базис.

28. Полярное разложение линейного оператора.

29. Унитарное пространство, существование ортонормированного базиса, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

30. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид.

31. Аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах координат.

32. Подпространства в аффинном пространстве и их пересечение. Задание подпространств системами линейных уравнений.

33. Евклидовы пространства, расстояние от точки до плоскости.

34. Расстояние между плоскостями в евклидовом пространстве. Определитель Грама    и объем параллелепипеда.

35. Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной   фиксированную точку.

36. Движения евклидова пространства.

37. Классификация движений в двумерном и трехмерном пространствах.

38. Понятие тензора, тензоры малых рангов, произведение тензоров. Базис и размерность пространства тензоров типа (p,q).

39. Изменение координат тензора при замене базиса.

40. Свертка тензора, ее координаты.

41. Симметризация и альтернирование тензоров.

42. Тензорная алгебра. Внешняя алгебра векторного пространства.

43. Базис и размерность внешней алгебры векторного пространства.

44. Связь внешнего произведения с определителем.

---

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность.

2. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты, их изменение при замене базиса. Изоморфизм пространств одинаковой размерности.

3. Подпространства, их суммы и пересечения. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения подпространств.

4. Сопряженное пространство и его размерность. Канонический изоморфизм. Критерий линейной независимости векторов.

5. Линейные отображения, их задание матрицами. Размерность ядра и образа. Критерий инъективности.

6. Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора и ее изменение при замене базиса.

7. Определитель и след линейного оператора. Критерий невырожденности оператора.

8. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения.

9. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратности корня.

10. Спектр оператора. Критерии диагонализируемости линейного оператора.

11. Минимальный многочлен, его существование и единственность.

12. Теорема Гамильтона-Кэли и ее следствия.

13. Разложение пространства в сумму корневых подпространств.

14. Нормальный базис для нильпотентного оператора.

15. Жордановы матрицы. Существование жордановой нормальной формы у комплексной матрицы.

16. Единственность жордановой нормальной формы.

17. Билинейные формы и их матрицы. Изменение матрицы при замене базиса. Канонический базис для симметрической билинейной формы.

18. Квадратичные формы и их матрицы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Алгоритм Лагранжа.

19. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

20. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

21. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.

22. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского и его следствия.

23. Ортогональность векторов. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.

24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение.

25. Сопряженный оператор и его матрица. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

26. Ортогональные матрицы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

27. Ортогональный оператор и его канонический базис.

28. Полярное разложение линейного оператора