Возможные направления исследований для студентов

Обобщения коммутативности для семейств квадратных матриц.

• Коммутативность с точностью до скалярного множителя: AB=aBA. Пробный вопрос: при условии, что матрицы комплексные заданного порядка n, определить, чему может быть равно число a, 1) если обе матрицы A и B невырождены, 2) в общем случае?
• Коммутативность с точностью до матричного множителя: AB=СBA.
• Сохранение знака у коммутатора: A,B и [A,B]=AB-BA вещественные, все их элементы неотрицательные.
• Тождество Поттера: (A+B)^q=A^q+B^q.

Возможные задачи: определить реализуемые значения размерности алгебры, порождённой парой указанных матриц; описать эти алгебры с точностью до сопряжённости; для фиксированной матрицы A, числа а, матрицы C описать множество матриц B, которые с ней обобщённо коммутируют, например, над конечным полем, интересно рассматривать дополнительные ограничения на структуру этих матриц: треугольные, симметричные и т.п.