16 декабря
Доклад Шитова Ярослава Николаевича (НИУ Высшая школа экономики)
«О сложности задач тропической линейной алгебры»
Анонс: Тропическим полукольцом называется множество вещественных чисел, рассмотренное с операциями минимума и суммы. В докладе будет рассказано о тропических аналогах таких понятий классической геометрии и линейной алгебры, как линейные пространства и выпуклые множества, многообразия и стандартные базисы, размерность и ранг. Будут приведены результаты, характеризующие алгоритмическую сложность этих понятий и других стандартных задач линейной алгебры.
9 декабря
Доклад Марковой Ольги Викторовны
«О длине матричных множеств, обладающих модифицированным свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта»
Анонс: Произвольное конечное подмножество S конечномерной ассоциативной алгебры над полем можно рассматривать как систему порождающих некоторой ее подалгебры A. Под длиной множества S понимается наименьшее неотрицательное целое число k такое, что множество слов длины не большей k от элементов S содержит базис подалгебры A. В докладе будут представлены оценки длин матричных множеств, обладающих модифицированным свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта, в частности, планируется рассказать о длинах матричных множеств, в которых элементы попарно перестановочны (с точностью до скалярных множителей).
2 декабря
Доклад Будревича Михаила Вячеславовича
«Вопросы конвертации перманента и определителя»
Аннотация к докладу: В докладе будут представлены основные известные результаты, связанные с вопросом знаковой конвертации перманента в определитель, а так же их связь с теорией графов. Будут рассмотрены некоторые способы построения конвертируемых неотрицательных матриц при помощи арифметических матричных операций. Кроме того, в докладе будет рассказано о знаковой конвертации для матриц над конечным полем.
25 ноября
Доклад Чистякова Д.С.
«КОЛЬЦА И МОДУЛИ С ОДНОЗНАЧНЫМ СЛОЖЕНИЕМ»
Анонс: Ассоциативное кольцо с единицей R называется кольцом с однозначным сложением (UA-кольцом), если любой изоморфизм мультипликативных полугрупп колец R и S является изоморфизмом колец. Другими словами, на мультипликативной полугруппе R можно задать единственное сложение, превращающее ее в кольцо. Исследованию UA-колец и решению близких вопросов посвящены работы К. Рикарта (1948), Р. Джонсона (1958), В. Мартиндейла (1969), В. Стефенсона (1969), К.-Ф. Нелиуса (1974), А.В. Михалева (1988), О.В. Любимцева (1999). Позднее свойство однозначности сложения было перенесено на полукольца (И.И. Артамонова, 1997 г. ) , модули ( Б. ван дер Мерве, 1999 г .), кольца Ли (И.В. Аржанцев, 2001 г.). В докладе, в основном, будут представлены результаты об абелевых группах и модулях с UA-кольцами эндоморфизмов, а также результаты об абелевых группах как UA-модулях над своим кольцом эндоморфизмов.
18 ноября
Доклад Байгушева Д.А. (Лицей «Вторая школа», Москва, Россия)
«О нескольких комбинаторных задачах: CBA-перестановки и матричные обобщения функции Эйлера»
Анонс:PDF
В докладе будет рассказано о двух интересных задачах, находящихся на стыке комбинаторики, алгебры и теории чисел.
1) Рассмотрим множество $\{1, \ldots, n\}$. Разобьем его на три непустых блока $\{A, B, C\}$ и переставим в порядке $\{C, B, A\}$. Полученную перестановку будем называть CBA-перестановкой. Какова доля СВА-перестановок, состоящих из одного цикла?
2) Рассмотрим группу $GL(2, \mathbb{Z}_m)$ обратимых матриц над кольцом $Z_m$. Функцию $\Phi(m):=|GL(2, \mathbb {Z}_m)|$ назовем матричной функцией Эйлера. Чему равна асимптотика этой функции?
Будут рассказаны решения этих задач (использующие, в частности, теорию вероятностей и дзета–функцию Римана) и показана связь между ними.
11 ноября
Доклад Ширяева Петра
«Декодирование алгеброгеометрических кодов над гиперэллиптическими кривыми»
Анонс: PDF
Одним из интересов теории передачи информации являются короткие помехоустойчивые коды над конечными полями характеристики 2. Алгеброгеометрические конструкции ([1], стр. 262-269) позволяют строить коды над гиперэллиптическими кривыми, которые имеют большую верхнюю границу длины кода, чем коды Рида–Соломона. Алгоритм декодирования, требующий знания базиса пространства Римана–Роха, был сформулирован и доказан С.Г. Влэдуцем и А.Н. Скоробогатовым в 1990 году [2]. В 2005г. Семеновых Д.Н. получил явный вид базиса пространства Римана–Роха приведённого дивизора ([3], Теорема 5), что позволяет рассматривать возможность практического применения алгеброгеометрических кодов.
В докладе будет изложен результат Семеновых о базисе пространства Римана–Роха, рассказан алгоритм декодирования и вычислена его сложность. Поскольку сложность значительно выше (при равных параметрах), чем для кодов Рида–Соломона, будут также изложены соображения о возможных оптимизациях алгоритма декодирования.
[1] С.Г. Влэдуц, Д.Ю. Ногин, М.А. Цфасман “Алгеброгеометрические коды. Основные понятия”, МЦНМО, 2002
[2] Alexei N. Skorobogatov, Serge G. Vladut: On the decoding of algebraic-geometric codes. IEEE Transactions on Information Theory 36(5): 1051-1060 (1990)
[3] Д.Н. Семеновых “О теоретико-числовых вопросах в теории кодирования”, автореферат, 2006.
28 октября
Доклад Сочнева Сергея Дмитриевича
«Длина алгебры полумагических матриц»
Анонс: Функция длины алгебры – это минимальное неотрицательное целое число k такое, что многочлены степени не выше k от элементов произвольной конечной порождающей системы порождают всю алгебру. В данном докладе изучается длина алгебры полумагических матриц (матрицы, у которых сумма элементов по любой строке или столбцу одинакова), выводится ряд оценок значения длины, находятся точные значения для ряда порождающих систем. Проводится аналогия с изучением длины алгебры всех квадратных матриц.
21 октября
Доклад Халиуллиной Айгуль Римзиловны
«Конгруэнции полигонов над группами и полугруппами правых нулей»
Резюме: 1) Robert H. Oehmke (описание правых конгруэнций над матричными полугруппами Риса)
2) Описание конгруэнций полигонов над группами
3) Описание конгруэнций полигонов над полугруппами правых нулей
14 октября
Доклад Синчука Сергея Сергеевича (Санкт-Петербургский государственный университет)
«Факторизации групп Стейнберга»
Краткое содержание: Пусть $E=\mathrm{E}(\Phi, R)$ – элементарная группа Шевалле типа $\Phi$ над коммутативным кольцом $R$,$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ – различные элементарные параболические подгруппы группы $E$, а $U^-_{PQ}$ – пересечение противоположных унипотентых радикалов групп $P$, $Q$. Мы ищем достаточные условия на кольцо $R$, при выполнении которых, группа $E$ допускает разложение типа {\it Денниса–Васерштейна} $E = P\cdot U^-_{PQ}\cdot Q$, а также изучаем приложения таких разложений к проблеме стабилизации и предстабилизации $\K_1$ и $\K_2$-фунторов, промоделированных по группам Шевалле. и гиперболическим унитарным группам.
7 октября
Доклад Гусева Владимира Валерьевича (Екатеринбург)
«Синхронизируемые автоматы и примитивные матрицы»
План доклада: Понятие синхронизируемого автомата
Некоторое применение синхроинизируемых автоматов
Гипотеза Черни
Медленно синхронизуемые автоматы и экспоненты примитивных матриц
Медленно синхронизируемые эйлеровы автоматы
30 сентября
Доклад Николаева Дмитрия Александровича (Липецкий государственный технический университет, Липецк)
«Моделирование и управление мультиагентными системами методами идемпотентной алгебры»
Анонс: В докладе рассматриваются так называемые жадные одноагентные и мультиагентные системы, в которых каждый агент придерживается субоптимальной стратегии принятия решений, и ставится задача построения для них алгебраических моделей динамики. На текущий момент отсутствует подход к моделированию, который бы допускал представление законов движения рассматриваемого класса систем в явной аналитической форме. Главная идея исследования заключается в замечании того факта, что именно идемпотентная математика является наиболее адекватным языком для решения поставленной задачи. Развивается подход, родственный тропической теории игр, алгебраической теории систем с очередями и теории управления, построенной на основе идемпотентного анализа. Однако, в отличие от работ предшественников, модели формулируются с использованием нового класса идемпотентных полуколец и оказываются существенно нелинейными. Знание аналитической формы моделей упрощает анализ исследуемых задач и подсказывает новые идеи для разработки эффективных численных методов, учитывающих специфику полученных уравнений.
23 сентября
Доклад Шитова Ярослава Николаевича (НИУ Высшая школа экономики)
«Задача факторизации матриц и ее приложения»
Анонс: Задача факторизации над полукольцом S состоит в нахождении матриц B размера mxk и С размера kxn с элементами из S, удовлетворяющих условию BC=A для заданных целого числа k и матрицы A. Особую роль в приложениях играет случай неотрицательных матриц; будут приведены решения некоторых проблем, которые возникли в связи с этими приложениями и были решены докладчиком. Будет уделено внимание проблемам и приложениям факторизации тропических матриц и рассказано о факторизациях матриц над кольцом. Часть доклада будет посвящена приложениям факторизации; в качестве следствия одного из результатов докладчика будет приведено описание всякого выпуклого n-угольника с помощью [6(n+1)/7] линейных неравенств.