Вопросы коллоквиума

1. Порядок элемента группы, порядок степени элемента.

2. Циклические группы, их подгруппы.

3. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа, ее следствия.

4. Нормальные подгруппы, коммутант группы (его нормальность), центр группы (его нормальность), централизатор множества элементов.

5. Факторгруппа по нормальной подгруппе, определение и корректность.

6. Гомоморфизмы групп, нормальность ядра, канонический гомоморфизм на факторгруппу.

7. Первая теорема об изоморфизме (теорема о гомоморфизме).

8. Вторая теорема об изоморфизме.

9. Третья теорема об изоморфизме.

10. Группа автоморфизмов группы, подгруппа внутренних автоморфизмов (ее изоморфность фактору группы по центру). 

11. Условия расщепляемости короткой точной последовательности абелевых групп.

12. Периодическая часть и примарные компоненты абелевых групп.

13. Классификация конечных примарных абелевых групп (существование).

14. Классификация конечных примарных абелевых групп (единственность).

15. Свободная абелева группа, ее ранг, равенство нулю ее периодической части.

16. Свойства свободной абелевой группы (универсальное, накрывающее, расщепляющее).

17. Теорема о разложении конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических групп.

18. Подгруппы свободных конечно порожденных абелевых групп.

19. Задание конечно порожденных абелевых групп образующими и соотношениями.

20. Целочисленные матрицы, приведение к каноническому диагональному виду.

21. Действие групп на множестве, орбиты и стабилизаторы. Формула орбит.

22. Нетривиальность центра конечной  p-группы. Группа из p2  элементов абелева.

23. Нормализатор подгруппы.

24. Первая теорема Силова.

25. Вторая теорема Силова.

26. Третья теорема Силова.

27. Разбиение группы подстановок на классы сопряженных элементов.

28. Простота группы An.

29. Характеризация коммутанта

30. Простота группы SO3.

31. Разрешимые группы. Свойства и критерий разрешимости

32. Разрешимость группы верхних треугольных матриц