Вопросы к экзамену по алгебре, 2 курс, 1 поток, лектор Е.И.Бунина

1. Порядок элемента группы, циклические группы, их подгруппы.

2. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа, ее следствия.

3. Нормальные подгруппы, коммутант группы (его нормальность), центр группы (его нормальность), централизатор множества элементов.

4. Факторгруппа по нормальной подгруппе, определение и корректность.

5. Гомоморфизмы групп, нормальность ядра, канонический гомоморфизм на факторгруппу.

6. Первая теорема об изоморфизме (теорема о гомоморфизме).

7. Вторая теорема об изоморфизме.

8. Третья теорема об изоморфизме.

9. Группа автоморфизмов группы, подгруппа внутренних автоморфизмов (ее изоморфность фактору группы по центру). 

10. Условия расщепляемости короткой точной последовательности абелевых групп.

11. Периодическая часть и примарные компоненты абелевых групп.

12. Классификация конечных примарных абелевых групп (существование).

13. Классификация конечных примарных абелевых групп (единственность).

14. Свободная абелева группа, ее ранг, равенство нулю ее периодической части.

15. Свойства свободной абелевой группы (универсальное, накрывающее, расщепляющее).

16. Теорема о разложении конечно порожденных абелевых групп в прямую сумму циклических групп.

17. Подгруппы свободных конечно порожденных абелевых групп.

18. Целочисленные матрицы, приведение к каноническому диагональному виду. Задание конечно порожденных абелевых групп образующими и соотношениями.
 
19. Действие групп на множестве, орбиты и стабилизаторы. Формула орбит.

20. Нетривиальность центра конечной  p-группы. Группа из p2  элементов абелева.

21. Первая теорема Силова.

22. Вторая теорема Силова.

23. Третья теорема Силова.

24. Разбиение группы подстановок на классы сопряженных элементов.

25. Простота группы An.

26. Характеризация коммутанта

27. Простота группы SO3.

28. Разрешимые группы. Свойства и критерий разрешимости

29. Разрешимость группы верхних треугольных матриц

30. Полупрямые произведения

31. Группы из 12 элементов

32. Идеалы в кольцах. Фактор-кольца. Теорема о гомоморфизме для колец

33. Максимальные идеалы в кольцах. Фактор коммутативного кольца с единицей по идеалу является полем тогда и только тогда, когда идеал максимален

34. Модули и основные понятия, связанные с ними. Фактор-модули, теорема о гомоморфизме для модулей

35. Существование и единственность разложения на простые множители в кольце главных идеалов

36. Строение конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов

37. Поля, простые расширения полей. Конечное расширение является алгебраическим. Теорема о башне полей

38. Расширение поля конечным числом алгебраических элементов является конечным. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел

39. Существование и единственность поля разложения многочлена

40. Классификация конечных полей

41. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Подполя конечных полей

42. Алгебры с делением. Алгебра кватернионов. Аннулирующие многочлены в конечномерных алгебрах над полем, их свойства

43. Теорема Фробениуса

44. Представления групп, неприводимые и приводимые представления. Одномерность комплексных представлений абелевых групп

45. Теорема Машке

46. Лемма Шура и ее следствия

47. Характеры представлений и их свойства. Ортогональность характеров

48. Одномерные представления группы. Регулярное представление

49. Количество неприводимых комплексных представлений конечной группы

50. Размерности неприводимых комплексных представлений конечной группы