РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра высшей алгебры

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
____________/В.А. Артамонов/
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
Алгебра, 3-й семестр
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
специалитет
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:

очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом).
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): освоение дисциплин «Алгебра» (1-й семестр), «Аналитическая геометрия» (1-й семестр), «Линейная алгебра и геометрия» (2-й семестр), «Математический анализ» (1-й и 2-й семестры)

3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	

__ ОПК-2___
	Знать:
разделы алгебры в рамках курса
Уметь
решать задачи по алгебре в рамках курса
	
___ ОПК-4__

Уметь
находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике алгоритмы, изучаемые в курсе 
	
__ ПК-1___
	Уметь
самостоятельно анализировать поставленную задачу, выбирать корректный метод ее решения, обрабатывать и анализировать полученную информацию

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 5 з.е., в том числе 90 академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 90 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1: Основные понятия теории групп
Содержание: Понятие группы, подгруппы, гомоморфизма, изоморфизма и автоморфизма. Примеры групп. Циклические подгруппы, порядок элемента, циклические группы и их подгруппы. Смежные классы, теорема Лагранжа и следствия из неё, индекс подгруппы.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 2: Нормальные подгруппы и гомоморфизмы
Содержание: Нормальные подгруппы, факторгруппы, образ и ядро гомоморфизма, теорема о гомоморфизме. Группа автоморфизмов, группы автоморфизмов циклических групп, группа внутренних автоморфизмов, центр группы.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	

Тема 3: Прямые произведения групп
Содержание: Внешние и внутренние прямые произведения (прямые суммы) групп. Разложение конечных циклических групп в прямое произведение. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп и по сомножителям	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 4: Системы порождающих
Содержание: Подгруппа, порождённая семейством элементов группы. Системы порождающих некоторых классических групп.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 5: Конечно порождённые абелевы группы
Содержание: Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободной абелевой группы, теорема о согласованных базисах. Универсальное свойство свободной абелевой группы. Разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Периодическая часть абелевой группы. 	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 6: Конечные абелевы группы
Содержание: Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических групп, его единственность. Экспонента конечной группы. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	

Тема 7: Действия групп
Содержание: Действие группы на множестве,  примеры действий, действия группы на себе левыми и правыми умножениями и сопряжениями, теорема Кэли. Орбиты и стабилизаторы, транзитивные, свободные и эффективные действия, ядро неэффективности действия. Сопряжённость стабилизаторов точек одной орбиты, длина орбиты конечной группы. Классы сопряжённости и централизаторы элементов группы.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 8: Коммутант и разрешимые группы
Содержание: Коммутатор элементов группы, коммутант и его свойства. Характеристические подгруппы. Вычисление коммутантов некоторых классических групп. Кратные коммутанты, их характеристичность и нормальность. Разрешимые группы, основные примеры и свойства. Разрешимость группы верхнетреугольных матриц. Конечные p-группы, нетривиальность их центров и разрешимость, коммутативность групп порядка p2.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 9: Простые группы
Содержание: Понятие простой группы, композиционный ряд. Описание простых абелевых групп. Простота групп An при n≥5 и SO3(R).	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 10: Силовские подгруппы
Содержание: Силовские подгруппы в конечных группах, примеры. Три теоремы Силова. Разрешимость групп порядка pq, где p и q – простые числа. 	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания, контрольная работа	

Тема 11: Основные понятия теории представлений
Содержание: Линейные и матричные представления групп, изоморфизмы и гомоморфизмы представлений. Инвариантные подпространства и подпредставления. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Прямая сумма представлений, разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых представлений. Теорема Машке. Ортогональные и унитарные представления, их полная приводимость.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 12: Неприводимые представления групп
Содержание: Лемма Шура. Кратность вхождения неприводимого представления во вполне приводимое представление, единственность разложения  вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых слагаемых.  Неприводимые комплексные линейные представления абелевых групп одномерны.  Описание одномерных комплексных представлений конечных абелевых групп. Сведение описания одномерных представлений произвольных групп к случаю абелевых групп.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	

Тема 13: Теория представлений конечных групп
Содержание: Разложение регулярного представления конечной группы на неприводимые слагаемые. Количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений.  Центральные функции на группе и характеры линейных представлений. Соотношения ортогональности для характеров. Кратность вхождения неприводимого представления как скалярное произведение характеров, определяемость представления его характером.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 14: Кольца и алгебры
Содержание: Определение и типы колец и алгебр, примеры. Групповая алгебра. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Левые, правые и двусторонние идеалы. Факторкольца и факторалгебры, теорема о гомоморфизме для колец и алгебр. Прямые суммы колец и алгебр. Простые кольца и алгебры, простота алгебры матриц над полем.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 15: Начала коммутативной алгебры
Содержание: Идеалы в коммутативных кольцах, конечно порождённые и главные идеалы. Кольца главных идеалов и евклидовы кольца. Структура факторалгебр алгебры многочленов от одной переменной.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	

Тема 16: Теория полей
Содержание: Конечное расширение полей и его степень, теорема о башне расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена к полю. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Алгебраические элементы образуют подполе.  Поле алгебраических чисел, существование трансцендентных чисел. Поле разложения многочлена.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 17: Конечные поля
Содержание: Простое подполе. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Существование неприводимого многочлена любой степени над конечным полем. Поле из четырёх элементов. Подполя конечного поля.  	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания	
Тема 18: Алгебры с делением
Содержание: Тела и алгебры с делением. Тело кватернионов. Конечномерные алгебры с делением над алгебраически замкнутым полем. Теорема Фробениуса.	10	3	2	5	5

 текущий контроль успеваемости: проверка домашнего задания, контрольная работа	
						
Промежуточная аттестация: зачёт 
(указывается форма проведения)		12	
Итого	180			

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.

Контрольная №1.

1. В циклической группе порядка 100 найти: a) количество различных образующих; б) все нормальные подгруппы; в) количество элементов порядка 20; г) количество классов сопряжённости.

2. Какие из следующих групп изоморфны между собой: а) группа D4 движений квадрата; б) группа кватернионов Q8; 
в) подгруппа {(13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)} в S4; г) группа Z4×Z2 ?

3. Пусть A — свободная абелева группа с базисом x1, x2, x3, B — её подгруппа, порождённая элементами y1, y2, y3. Разложите факторгруппу A/B в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп, если y1 = 5x1 + 4x2 + x3, y2 = 6x1 + 4x2 + 2x3, y3 = 9x1 + 8x2 + x3.

4. Найти с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 360. Укажите, какие из них являются циклическими. Найдите для каждой группы её экспоненту. Существуют ли неабелевы группы такого порядка?

5. Найти классы сопряжённости и центр в группе S4×Z2.

6. Всякая ли группа порядка 196 является простой? Всякая ли такая группа является разрешимой? Всякая ли является коммутативной?

Контрольная №2.

1. Описать все неприводимые комплексные представления группы Q8.

2. Доказать с помощью теории представлений, что в GL2(C) не существует подгруппы, изоморфной A4.

3. Изоморфны ли алгебры C[x,y]/((x−y)2) и C[x,y]/(x2−y2) над полем C?

4. Найти в кольце Z[x] неглавный идеал.
 
5. Обратить элемент x2 + x + 1 + (f) в факторкольце Z3[x]/(f), где f = x4 − x3 + x + 1. Является ли это факторкольцо полем?

6. Найти количество элементов поля F8, из которых извлекается квадратный корень.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

1. Привести пример конечной группы, порождённой элементами порядка 2, которая не допускает сюръективный гомоморфизм на группу из двух элементов.

2. Пусть f : G→S3 — сюръективный гомоморфизм, и Ker(f) имеет порядок 2. Доказать, что в группе G есть элемент порядка 6.

3. Пусть P — силовская p-подгруппа конечной группы G, и H — подгруппа в G, которая содержит нормализатор NG(P). Доказать, что NG(H) = H.

4. Классифицировать с точностью до изоморфизма все действия групп порядка 5 на множестве из 9 элементов.

5. Доказать, что в аддитивной группе поля Q нет подгрупп конечного индекса.

6. Найти количество и размерности неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка p3, где p — простое число.

7. Пусть G — конечная группа. Найти пересечение ядер всех её неприводимых комплексных представлений.

8. Найти все обратимые элементы в кольце Z4[x].

9. Найти все автоморфизмы поля R.

10. Найти сумму элементов конечного поля.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной и дополнительной литературы:

Основная литература:

[1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Москва, МЦНМО, 2013, 592 стр. 
[2] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры. Москва, МЦНМО, 2012, 272 стр. 
[3] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И.Кострикина. Москва, МЦНМО, 2009, 408 стр. 

Дополнительная литература:
 
[1] В.А. Белоногов. Задачник по теории групп. Москва, Наука, 2000, 238 стр. 
[2] Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. Москва, Наука, 1976, 648 стр.
[3] М.И. Каргаполов и Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. Москва, Наука, 1996, 287 стр. 
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры. Москва, МЦНМО, 2012, 272 стр. 
[5] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 2: Линейная алгебра. Москва, МЦНМО, 2012, 368 стр. 
[6] А.Г. Курош. Лекции по общей алгебре. Москва, Лань, 2007, 555 стр. 
[7] Р. Лидл и Г. Нидеррайтер. Конечные поля, 2 тома. Москва, Мир, 1988, 818 стр. 
[8] Е.С. Ляпин, А.Я. Айзенштат, М.М. Лесохин. Упражнения по теории групп. Москва, Наука, 1967, 264 стр.

•	Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости)

Свободно распространяемая система компьютерной алгебры SAGE: http://www.sagemath.org/

•	Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем 
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости): 

1)	Общероссийский математический портал: http://www.mathnet.ru
2)	Сайт о конечных группах: http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html
3)	Группа GAP: http://www.gap-system.org/
4)	Таблица спорадических групп: http://ru.wikipedia.org/wiki/Спорадическая_группа

•	Описание материально-технического обеспечения: аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.

9. Язык преподавания: русский

10. Преподаватель (преподаватели). Доцент Клячко А.А., доцент Куликова О.В., доцент Марков В.Т., доцент Маркова О.В., доцент Тимашев Д.А., доцент Чубаров И.А., ассистент Гайфуллин С.А.., ассистент Шафаревич А.А., науч. сотр. Канунников А.Л.

11. Автор (авторы) программы.