РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра Высшей алгебры

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
В.А.Артамонов/____________ /
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
Алгебра
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
бакалавриат
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:

очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом). Относится к базовой
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): школьная программа математики_____________
3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	

__ ОПК-2___
	Знать:
разделы алгебры в рамках курса
Уметь
решать задачи по алгебре в рамках курса
	
___ ОПК-4__

Уметь
находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике алгоритмы, изучаемые в курсе 
	
__ ПК-1___
	Уметь
самостоятельно анализировать поставленную задачу, выбирать корректный метод ее решения, обрабатывать и анализировать полученную информацию

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет __5___ з.е., в том числе __72___ академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, __108___ академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Системы линейных уравнений, матрицы, определители. Арифметическое векторное пространство. Ранг.	100	20 часов	20 часов	40	60	
2.	Текущий контроль успеваемости	2		2	2		
3.	Основы теории групп, колец и полей. Поле комплексных чисел.	30	6 часов	6 часов	12	18	
4.	Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Поле рациональных дробей. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.	44	10 часов	8 часов	18	26	
						
Промежуточная аттестация ___зачет, экзамен		4	
Итого	180			

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.
         
 Контрольная работа 

1. Исследуйте совместность и найдите общее решение системы линейных уравнений:
  2x1   +   7x2   +   3х3   +    х4   =   6,
  3x1   +   5x2   +   2х3   +   2х4   =   4, 
  9x1   +   4x2   +    x3   +   7х4   =   2.

2. Найдите определитель матрицы

 3 -5 2 -4
-3  4 -5 3
-5  7 -7 5
 8 -8 -5 6

3. Найдите произведение A-1B-1, где 

     2  4 -2            -1  1 1
A =  4  2  2 ,      B =  5 -1 3
    -2 -2  4             2 -1 3

4. Найдите определитель матрицы     y2+1   y  0  0 ...       0   0
                              y   y2+1 y  0 ...      0   0
                                ............
                              0    0  0  0 ...  y  y2+1 y

5.  Найдите ранг матрицы 80  80 в зависимости от параметра λС:

  λ  1 1 . . . 1  1 -λ
  1  λ 1 . . . 1 -λ  1
      . . . . . . .
  1 –λ 1 . . . 1  λ  1
 -λ  1 1 . . . 1  1  λ

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

Типы задач на зачете 

1.	Решить систему линейных уравнений.
2.	Найти обратную матрицу.
3.	Вычислить определитель.
4.	Найти наибольших общий делитель многочленов.
5.	Разложить многочлен по степеням одночлена.
6.	Найти все корни заданной степени из  указанного комплексного числа.
7.	Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.
8.	Представить  заданный симметрический многочлен в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

               Вопросы к экзамену
1.	Матрицы: определение. Квадратные, диагональные, (главная и побочная диагональ), верхние и нижние треугольные матрицы. Операции сложения и умножения на число. Свойства. 
2.	Ведущие элементы (лидеры) строк матрицы. Матрицы ступенчатого вида. Элементарные преобразования над строками. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду. 
3.	Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛАУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Метод Гаусса решения СЛАУ. Однородные системы линейных уравнений, их совместность. Однородные СЛАУ с числом уравнений меньше числа неизвестных. 
4.	Векторное пространство. Примеры. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. 
5.	Определение векторного подпространства. Примеры. Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство. Основная лемма о линейной зависимости. 
6.	Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры. 
7.	Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса. 
8.	Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк. 
9.	Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц. 
10.	Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов. 
11.	Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (фундаментальная система решений). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. 
12.	Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений. 
13.	Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки. Свойства перестановок. 
14.	Формула полного разложения определителя. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. 
15.	Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду. 
16.	Определитель транспонированной матрицы. 
17.	К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей. 
18.	Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. 
19.	Определитель Вандермонда
20.	Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства. 
21.	Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц. 
22.	Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы. 
23.	Определитель произведения матриц. 
24.	Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация матрицы в терминах миноров). 
25.	Обратные матрицы. Критерий существования обратной матрицы. 
26.	Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы. 
27.	Матричные уравнения. Правило Крамера. 
28.	Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Примеры. Утверждение об единственности нейтрального элемента. Утверждение об единственности обратного элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры. 
29.	Группа преобразований. Группа подстановок. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. 
30.	Разложение подстановки в произведение транспозиций. Четность. Свойства. 
31.	Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Свойства.
32.	Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из ненулевого комплексного числа. 
33.	Группы и подгруппы. Примеры. Циклические группы. Порядок группы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество. 
34.	Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Изоморфизм циклических групп одинакового порядка. Теорема о подгруппах циклической группы (б/д).
35.	Смежные классы. Свойства. Теорема Лагранжа. Следствия. 
36.	Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры. Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства. 
37.	Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля. Определение характеристики поля. Свойство характеристики. 
38.	Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем. 
39.	Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем. 
40.	Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Наибольший общий делитель, его линейное выражение через заданные многочлены, алгоритм Евклида. 
41.	Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.
42.	Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.
43.	Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратности при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.  
44.	 Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.
45.	Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. 
46.	 Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.
47.	 Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).
48.	Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.
49.	 Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов.
50.	Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной и дополнительной литературы,
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: МЦНМО., 2009.
Винберг Э. Б., Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. М: МЦНМО, 2009.

•	Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости)
•	Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем www.mathnet.ru
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости)
Сайт кафедры высшей алгебры МГУ: http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php   

•	Описание материально-технического обеспечения. Аудитория с доской для проведения лекций и семинаров.
9. Язык преподавания. Русский

10. Преподаватель (преподаватели). Куликова О.В., Тимашев Д.А., Зайцев М.В., Клячко А.А., Латышев В.Н.

11. Автор (авторы) программы. Латышев В.Н.