РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра Высшей алгебры

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
В.А.Артамонов/____________ /
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
Алгебра, семестр 1
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
специалитет
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:

очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом). Относится к базовой
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): школьная программа математики_____________
3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	

__ ОПК-2___
	Знать:
разделы алгебры в рамках курса, знать основные факты о матрицах, определителях и многочленах от одной и нескольких переменных и их приложениях в разных областях математики и естествознания;

Уметь
решать задачи по алгебре в рамках курса

Владеть
методами исследования и решения систем линейных уравнений; алгеброй комплексных чисел

___ ОПК-4__

Уметь
находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике алгоритмы, изучаемые в курсе 
	
__ ПК-1___
	Уметь
самостоятельно анализировать поставленную задачу, выбирать корректный метод ее решения, обрабатывать и анализировать полученную информацию

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет __6___ з.е., в том числе __108___ академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, __108___ академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 
	24	6 часов	6 часов	12	12	
Тема 2. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Ранг системы векторов.	24	6 часов	6 часов	12	12	
Тема 3. Подстановки. Операции над подстановками. Четность подстановки.	20	4  часов	4  часов	8	12	
Тема 4. Определители.  Основные свойства, методы вычисления и приложения.	28	8  часов	8  часов	16	12	
Тема 5. Операции над матрицами. Применения матриц.	22	6 часов	4 часов	12	12	
Текущий контроль успеваемости	2		2	2		
Тема 6. Понятие о группах. Примеры.	20	4	4	8	11	
Тема 7. Комплексные числа.	20	4	4	8	11	
Тема 8. Многочлены от одной переменной.	28	8  часов	8  часов	16	11	
Тема 10. Многочлены от нескольких переменных.	26	8  часов	6  часов	14	11	
Текущий контроль успеваемости	2		2	2		
Промежуточная аттестация ___зачет, экзамен		4	
Итого	216			

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.
         
 Примеры контрольных работ

Контрольная работа № 1

1. Исследуйте совместность и найдите общее решение системы линейных уравнений:
  2x1   +   7x2   +   3х3   +    х4   =   6,
  3x1   +   5x2   +   2х3   +   2х4   =   4, 
  9x1   +   4x2   +    x3   +   7х4   =   2.

2. Найдите все значения , при которых вектор x = (7, —2, λ) линейно выражается через векторы а1 = (2, 3, 5),   а2 = (3, 7, 8),   а3 = (1, -6,1).

3. Перемножьте подстановки

                        1 2 3 4 5                            1 2 3 4 5
π1=                                 и      π2=
                        5 3 1 2 4                            З 4 1 5 2  

в прямом и в обратном порядке. Найдите четность каждой подстановки и четность их произведения. Найдите обратные подстановки к π1 и π2 и разложите их на непересекающиеся циклы.

4. Найдите определитель матрицы

 3 -5 2 -4
-3  4 -5 3
-5  7 -7 5
 8 -8 -5 6

5. Найдите произведение A-1B-1, где 

     2  4 -2            -1  1 1
A =  4  2  2 ,      B =  5 -1 3
    -2 -2  4             2 -1 3

6. Найдите определитель матрицы     y2+1   y  0  0 ...       0   0
                              y   y2+1 y  0 ...      0   0
                                ............
                              0    0  0  0 ...  y  y2+1 y
Контрольная работа № 2

1.  Найдите ранг матрицы 80  80 в зависимости от параметра λС:

  λ  1 1 . . . 1  1 -λ
  1  λ 1 . . . 1 -λ  1
      . . . . . . .
  1 –λ 1 . . . 1  λ  1
 -λ  1 1 . . . 1  1  λ

2. Вычислите корень степени 3 из числа (1-5i)/(1+i)-5(1+2i)/(2-i)+ 2.

3. Вычислите сумму  sin x + Cn1 sin 2x +. . . + Cnn sin(n + 1)x.

4. Найдите наибольший общий делитель многочленов
f = x4 + 2x3 – x2 – 4x – 2 и g = x4 + x3 – x2 – 2x – 2 
и его выражение через f  и g над полем Q.

5. Найдите число неприводимых многочленов степени 3 со старшим коэффициентом 1 над полем Z3.

6. Разложите (x13 – x)–2 на простейшие дроби над полем Z13.  
Вопросы к коллоквиуму

1.	Системы линейных уравнений. Приведение матрицы к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк. Метод Гаусса. 
2.	Ассоциативность отображений. Обратное отображение. Подстановки. Их количество. Понятие группы. Группа подстановок. 
3.	Разложение подстановки в произведение транспозиций. Изменение четности при транспозиции. Четность подстановок.
4.	Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
5.	Определитель. Определитель треугольной матрицы. Полилинейность и кососимметричность определителя.
6.	Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель Вандермонда.
7.	Определитель транспонированной матрицы. Определитель с углом нулей.
8.	Разложение определителя по строке или столбцу. Фальшивое разложение.
9.	Теорема и формулы Крамера.
10.	Операции над матрицами. Их свойства. Ассоциативность умножения матриц. Матричная запись систем линейных уравнений. Понятие кольца.
11.	Обратимые элементы и делители 0 в кольце. Кольцо матриц. Обратные матрицы. Единственность. Формула для обратной матрицы. Делители 0 в кольце матриц. Критерий существования обратной матрицы.
12.	Матричные единицы. Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. 
13.	Определитель произведения матриц. Полная и специальные линейные группы. 
14.	Понятие векторного пространства. Примеры. Понятие линейной зависимости векторов и ее свойства. Линейная зависимость т векторов в Rn  при m>n.
15.	Базис системы векторов. Стандартный базис в Rn. Основная лемма о линейной зависимости. Следствия. Ранг системы векторов. 
16.	Ранг матрицы. Критерий равенства определителя нулю (в терминах рангов).
17.	Теорема о ранге матрицы.
18.	Ранг произведения матриц. Нахождение базиса и ранга системы векторов.
19.	Теорема Кронекера-Капелли. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем линейных уравнений. 
20.	Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

               Вопросы к экзамену

1.	Системы линейных уравнений. Приведение матрицы к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк. Метод Гаусса. 
2.	Ассоциативность отображений. Обратное отображение. Подстановки. Их количество. Понятие группы. Группа подстановок. 
3.	Разложение подстановки в произведение транспозиций. Изменение четности при транспозиции. Четность подстановок.
4.	Разложение подстановки в произведение независимых циклов.
5.	Определитель. Определитель треугольной матрицы. Полилинейность и кососимметричность определителя.
6.	Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель Вандермонда.
7.	Определитель транспонированной матрицы. Определитель с углом нулей.
8.	Разложение определителя по строке или столбцу. Фальшивое разложение.
9.	Теорема и формулы Крамера.
10.	Операции над матрицами. Их свойства. Ассоциативность умножения матриц. Матричная запись систем линейных уравнений. Понятие кольца.
11.	Обратимые элементы и делители 0 в кольце. Кольцо матриц. Обратные матрицы. Единственность. Формула для обратной матрицы. Делители 0 в кольце матриц. Критерий существования обратной матрицы.
12.	Матричные единицы. Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. 
13.	Определитель произведения матриц. Полная и специальные линейные группы. 
14.	Понятие векторного пространства. Примеры. Понятие линейной зависимости векторов и ее свойства. Линейная зависимость т векторов в Rn  при m>n.
15.	Базис системы векторов. Стандартный базис в Rn. Основная лемма о линейной зависимости. Следствия. Ранг системы векторов. 
16.	Ранг матрицы. Критерий равенства определителя нулю (в терминах рангов).
17.	Теорема о ранге матрицы.
18.	Ранг произведения матриц. Нахождение базиса и ранга системы векторов.
19.	Теорема Кронекера-Капелли. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем линейных уравнений. 
20.	Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений.
21.	Понятие поля. Примеры. Характеристика поля. Построение кольца вычетов. Обратимые элементы и делители 0. Когда кольцо вычетов является полем?
22.	Построение поля комплексных чисел. Алгебраическое и геометрическое представление. Комплексное сопряжение.
23.	Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.
24.	Группа корней из 1. Ее изоморфизм с группой вычетов. Первообразные корни. Кольцо многочленов (над коммутативным ассоциативным кольцом с 1).
25.	Алгебра многочленов над полем. Подстановка элемента в многочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Понятие делимости (в кольцах). Свойства.
26.	Деление многочленов с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
27.	Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем. Следствия. Число корней многочлена.
28.	Функциональное равенство многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа.
29.	Дифференцирования. Дифференцирования алгебры многочленов (от одной переменной). Кратные множители и корни. Понижение кратности при дифференцировании. Отделение кратных множителей.
30.	Лемма о возрастании модуля многочлена. Лемма Даламбера.
31.	Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел.
32.	Конструкция поля частных. Поле рациональных функций.
33.	Простейшие и правильные дроби. Разложение в сумму простейших.
34.	Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Однородные многочлены. Свойства.
35.	Симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Старший член. Его свойства.
36.	Теорема о симметрических многочленах.
37.	Результант и дискриминант.
38.	Циклические группы. Порядки элементов. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Подгруппы циклических групп.
39.	Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной и дополнительной литературы,
А.	Основная литература: 

 [1]  Э.Б. Винберг. Курс алгебры. Москва, МЦНМО, 2013, 592 стр.
 [2] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры. Москва, МЦНМО, 2012, 272 стр.  
 [3] А.Г.Курош. Лекции по общей алгебре. Москва, Лань, 2007, 555 стр. 
 [4] А.И.Кострикин (под редакцией). Сборник задач по алгебре. Москва, МЦНМО, 2009, 408 стр. 

Б.	Дополнительная литература:
 
[1] Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. Москва, Наука, 1976, 648 стр.
[2] А.В.Михалёв, А.А.Михалёв, Начала алгебры, часть 1. М., ИУИТ, 2005, 258 с.

•	Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости)
•	Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем www.mathnet.ru
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости)
Сайт кафедры высшей алгебры МГУ: http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php   

•	Описание материально-технического обеспечения. Аудитория с доской для проведения лекций и семинаров.
9. Язык преподавания. Русский

10. Преподаватель (преподаватели). проф.Бунина Е.И., доцент Клячко А.А., доцент Куликова О.В., доцент Марков В.Т., доцент Маркова О.В., доцент Тимашев Д.А., доцент Чубаров И.А., ассистент Гайфуллин С.А.., ассистент Шафаревич А.А., науч. сотр. Канунников А.Л.

11. Автор (авторы) программы. проф.Бунина Е.И., проф. Винберг Э.Б., доц.Марков В.Т., доц.Тимашев Д. А