РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра Высшей алгебры

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
В.А.Артамонов/____________ /
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
Линейная алгебра и геометрия
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
специалитет
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:

очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом). Относится к базовой
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): владение математическими знаниями курса Алгебры 1 семестра_____________
3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	

__ ОПК-2___
	Знать:
основные понятия и результаты линейной алгебры (системы линейных уравнений, линейные пространства и линейная зависимость, собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов, геометрия метрических линейных пространств, свойства билинейных функций, классификацию квадрик). Студенты должны знать логические связи между ними.

Уметь
находить собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов и билинейных функций, классифицировать квадрики

Владеть
методами и алгоритмами линейной алгебры

___ ОПК-4__

Уметь
находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике алгоритмы, изучаемые в курсе 
	
__ ПК-1___
	Уметь
самостоятельно анализировать поставленную задачу, выбирать корректный метод ее решения, обрабатывать и анализировать полученную информацию

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет __8___ з.е., в том числе __136___ академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, __152___ академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1.  Конечномерные векторные пространства. Линейные отображения и линейные операторы. Жорданова нормальная форма.
	98	24 часов	22 часов	46	52	
Текущий контроль успеваемости (контрольная)	2		2	2		
Тема 2.  Билинейные и квадратичные формы. Метрические линейные пространства. Линейные операторы в метрических пространствах.	84	20  часов	20  часов	40	44	
Текущий контроль успеваемости (коллоквиум)	2		2	2		
Тема 3.  Точечные аффинные и евклидовы пространства. Квадратичные функции и квадрики. Группы преобразований и классификация движений	50	12  часов	10  часов	22	28	
Тема 4.  Тензорная алгебра	46	12 часов	10 часов	22	24	
Текущий контроль успеваемости (контрольная)	2		2	2		
						
Промежуточная аттестация ___зачет, экзамен		4	
Итого	288			

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.
         
 Вариант контрольной работы:
Контрольная работа №1
1.	Найти базис суммы и пересечения подпространств.
2.	Найти все инвариантные подпространства линейного оператора.
3.	Найти жорданову нормальную форму и жорданов базис.
4.	Привести квадратичную форму к главным осям.
5.	Найти собственный ортонормированный базис для симметрического (унитарного) оператора.

Контрольная работа №2
1.	Найти угол и расстояние между вектором и плоскостью.
2.	Найти полярное разложение линейного оператора.
3.	Определить геометрический тип движения.
4.	Найти центр и каноническую форму уравнения квадрики.
5.	Определить координаты тензора в новом базисе.

7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.

               Вопросы к экзамену

1. Линейные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе. Переход от одного базиса к другому, матрица перехода, связь между координатами вектора в разных базисах. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности.
2. Подпространства линейного пространства, линейные оболочки, действия над пространствами: пересечение, объединение, сумма. Прямая сумма линейных подпространств.
3. Сопряженное линейное пространство, дуальные базисы. Второе сопряженное пространство, канонический изоморфизм.
4. Задание подпространств линейной однородной системой уравнений.
5. Линейные отображения векторных пространств. Образ и ядро линейного отображения. Размерность ядра и образа. Критерий инъективности. Матричное задание.
6. Алгебра линейных операторов векторного пространства. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Определитель, след и ранг линейного оператора. Обратимость и невырожденность. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен и характеристические корни. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный аннулирующий многочлен, спектр и условия диагонализируемости линейного оператора. Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств линейного оператора вещественного пространства.
7. Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора. Циклические подпространства. Нормальный базис нильпотентного оператора. Существование и единственность жордановой нормальной формы комплексной матрицы. Функции от матриц*.
8. Билинейные функции и формы, их матрицы. Ранг билинейной функции. Симметрические и кососимметрические билинейные функции и формы. Положительно определенные квадратичные функции. Квадратичные функции и формы, их матрицы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции для вещественных квадратичных форм. Метод Якоби. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
9. Евклидово пространство. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, ортонормированные базисы. Ортогональное дополнение линейного подпространства. Метрический изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности. Определитель Грамма. Неравенство Коши-Буняковского. Геометрия евклидовых пространств: расстояния, углы, объемы. Векторное произведение*. Сопряженное пространство евклидова пространства.
10. Линейные операторы евклидовых пространств. Сопряженный оператор и его матрица. Самосопряженные операторы и симметрические матрицы. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. Полярное разложение линейного оператора.
11. Приведение вещественной квадратной формы к главным осям. Пара форм.
12. Унитарное пространство, существование ортонормированного базиса, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому*. Эрмитовы и унитарные операторы, их канонический вид.
13. Точечные аффинные пространства, их изоморфизм, координаты точки в разных системах координат. Подпространства. Евклидовы точечные пространства, их геометрия.
14. Аффинная группа, подгруппа сдвигов и подгруппа, оставляющая неподвижной точку. Группа движений точечного евклидова пространства. Классификация движений в 2-х и 3-мерном пространстве.
15. Квадратичные функции в аффинном пространстве, их центральные точки, канонический вид. Аффинная и метрическая классификация квадрик, их канонические типы.
16. Тензоры линейного пространства. Изменение координат тензора при переходе к другому базису. Операция свертки*. Симметризация и альтернирование. Внешние формы.
17. Начала проективной геометрии*. Проективные пространства. Проективная группа*. Проективная классификация квадрик*.

Примечание. Пункты, отмеченные звездочкой, могут быть опущены по усмотрению лектора.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной и дополнительной литературы,
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра и геометрия. М.: МЦНМО., 2009.
Винберг Э. Б., Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
Михалев А.В., Михалев А.А., Начала алгебры, часть 1. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2009.
Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. М: МЦНМО, 2009.

•	Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости)
•	Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем www.mathnet.ru
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости)
Сайт кафедры высшей алгебры МГУ: http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php   

•	Описание материально-технического обеспечения. Аудитория с доской для проведения лекций и семинаров.
9. Язык преподавания. Русский

10. Преподаватель (преподаватели). Доцент Клячко А.А., доцент Куликова О.В., доцент Марков В.Т., доцент Маркова О.В., доцент Тимашев Д.А., доцент Чубаров И.А., ассистент Гайфуллин С.А.., ассистент Шафаревич А.А., науч. сотр. Канунников А.Л.

11. Автор (авторы) программы. проф. В.А.Артамонов, проф. М. В. Зайцев. проф. В.Н.Латышев