РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра высшей алгебры

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
____________/В.А. Артамонов/
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
Современные проблемы экономики
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
Специалитет
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:
очная
очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом).
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): ________________
освоение дисциплин «Введение в алгебру», «Линейная алгебра».
3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	

ОПК-1	Знать:
основные понятия, результаты, проблемы и задачи современной экономической теории.
Уметь
Излагать в доступной для слушателей форме основные понятия, результаты, проблемы и задачи современной экономической теории.
Владеть:
Навыками теоретических рассуждений о проблемах и вопросах экономики	
ПК-1, ПК-5
	Уметь
Применять стандартные математические методы исследования различных экономических задач и проблем, самостоятельно анализировать поставленные задачи и выбирать методы их решения.
Иметь опыт
Работы с математическими моделями в экономике, теоретического решения такого рода задач и осуществления практических экспериментов с использованием компьютера	
УК-1
	Уметь
Самостоятельно выбирать модель, подходящую для решения конкретной экономической проблемы, и применять выбранную модель для исследования задачи. 
Владеть
Методами линейной и абстрактной алгебры решения экономических задач, навыками самостоятельного исследования проблем и поиска пути их решения, навыками группового решения задач.	

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет 7 з.е., в том числе 142 академических часа, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, 80 академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
1.	Издержки и их представления. Альтернативные издержки. Граница производственных возможностей.	6	2	2	4	2	
2.	Методы увеличения производственных возможностей.	6	2	2	4	2	
3.	Международная торговля, как способ увеличить благосостояние. Плюсы и минусы международной торговли.	10	4	4	8	2	
4.	Модель спроса и предложения. Рынок, как лучший администратор. Закон спроса.	8	4	2	6	2	
5.	Рыночное равновесие. Государственное вмешательство в работу рынка. Налоги и ограничения международной торговли. 	6	2	2	4	2	

6.	Эластичность. Вычисление эластичности спроса по цене. 	6	2	2	4	2	
7.	Эластичность спроса по доходу. Эластичность предложения по цене. 	6	2	2	4	2	
8.	Эластичность и колебание цен. Применение эластичности.	10	4	4	8	2	
9.	Контрольная работа	4	0	2	2	2	
10.	Производство экономических благ: факторы производства, закон убывающей предельной полезности, минимизация издержек, изокванты и изохорды, зона технического замещения.	6	2	2	4	2	
11.	Внешние эффекты. Когда налоги и квоты увеличивают эффективность?	9	4	3	7	2	
12.	Аукционы. Типы аукционов. Стандартные решения.	14	6	6	12	6	
13.	Зачет				12	12	
14.	Арифметика в тропическом полукольце: сложение, умножение, операции над векторами и матрицами. 	8	4	2	6	2	
15.	Приложения систем тропических линейных уравнений к решению задач теории оптимизации расписаний.	8	4	2	6	2	
16.	Спектр тропической матрицы и его приложения в теории расписаний.	5	2	1	3	2	

17.	Основные понятия теории графов, граф матрицы, ориентированный граф, пути и циклы, связность и сильная связность.	5	2	1	3	2	
18.	Cредняя длина и средний вес цикла; критический подграф. 	5	2	1	3	2	
19.	Цикличность графа, цикличность матрицы.	7	4	1	5	2	
20.	Разложимые и неразложимые матрицы: эквивалентные определения неразложимости, связь с графами. 	8	4	2	6	2	
21.	Собственные значения и собственные вектора тропических матриц. Множество собственных векторов образует линейное подпространство. Приложения тропических собственных векторов и собственных значений к задачам теории расписаний.	8	4	2	6	2	
22.	Собственное значение и собственные вектора неразложимой матрицы. Нахождение собственного значения неразложимой матрицы по графу. Нахождение собственных векторов с использованием матрицы А*.	5	2	1	3	2	
23.	Контрольная работа	4	0	2	2	2	

24.	Алгоритм Карпа нахождения собственного значения неразложимой матрицы. Применение алгоритма для разложимых матриц. 	6	2	2	4	2	
25.	Степенной алгоритм для нахождения собственного вектора и собственного значения неразложимой матрицы. Возможности применения алгоритма для неразложимых матриц.	5	2	1	3	2	
26.	Собственная пара, алгоритм Ховарда нахождения собственной пары (выбор стартового значения, улучшение политики). 	5	2	1	3	2	
27.	Многочлены над тропическим полукольцом: график многочлена p(x), графическое решение уравнения p(x) = q(x). Существенные и не существенные мономы, избавление от несущественных мономов. 	5	2	1	3	2	
28.	Алгоритмы разложения на множители и раскрытия скобок для многочленов над тропическим полукольцом. 	5	2	1	3	2	
Промежуточная аттестация:
Контрольная работа 1
Зачет
Контрольная работа 2
Экзамен	

                                                                                    12

                                                                                     4	

12

10	
Итого		                                                                    142	80	

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания для проведения текущего контроля успеваемости.

1.	Докажите, что если матрица A*=E-A положительно определена, то модель Леонтьева продуктивна.
2.	Докажите, что если модель Леонтьева рассматривать, как модель Неймана, задаваемую парой матриц (A,I), причем, А неразложима, то существует единственное положение равновесия, где p=p_A, x=x_A, α= α_A.
3.	Для модели Неймана, заданной векторами a_1=(1,1), a_2=(2,1), b_1=(3,2), b_2=(2,6), найдите темп роста α_М и луч Неймана.
4.	 Покажите, что множество 
                      С={(x_1,x_2;y_1,y_2) | 2y_1^2+y_2^2 ≤ 4x_1^2+6x_2^2, x_i,y_i≥0}
      Является моделью Гейла и найти ее состояние равновесия.
5.	Приведите пример модели Гейла С, для которой конус
                     U={u | сущ. (y,z) в C : u= α_М y-z}
не замкнут. 
6.	Верно ли следующее утверждение: "Дефицит товара вызывает увеличение неденежных затрат потребителя"? Ответ обоснуйте.
7.	Иван, Андрей и Олег решили организовать производство деревянных ящиков. Для сборки ящика надо напилить досок и сколотить их гвоздями. Стоимость сырья для производства одно ящика составляет $20$ рублей, а рыночная стоимость готового ящика составляет $30$ рублей. Друзья готовы работать $8$ часов в день $5$ дней в неделю. Для производства ящиков они решили воспользоваться брошенным гаражом соседа Василия, который несколько лет назад переехал жить в город. При обсуждении условий совместной работы друзья договорились, что трудозатраты на заготовку досок и забивание гвоздей будут соотноситься $1:1$.
a.	Какие у друзей имеются сравнительные и абсолютные преимущества при производстве ящиков?
b.	Сколько ящиков в час будут производить друзья? Как между ними будут распределены обязанности?
c.	Чему будет равен недельный заработок каждого из друзей?
d.	Чему равна экономическая выгода каждого из друзей, если до этого Иван сидел без работы и ничего не делал, Андрей работал на соседней ферме за $2000$ рублей в неделю, а Олег работал трактористом за $2500$ рублей в неделю. Каждый час своего свободного времени они оценили в $10$ рублей. 
e.	Как изменится ответ к задаче, если Василий потребует платить ему $2000$ рублей в неделю за аренду гаража?
8.	Средние затраты монопольной фирмы на производство равны $20$ единиц. С целью получения максимальной прибыли фирма установила цену на свою продукцию в размере $30$ единиц. Найдите эластичность спроса по цене на продукцию фирмы. Как изменится выручка монополиста в случае, если в период предновогодней распродажи цена будет снижена на $5$ единиц?
9.	Вычисления в тропической арифметике.
10.	Пусть А – строго нижнее треугольная матрица над тропической алгеброй. Пусть
                      A*=E+A+A^2+A^3+…
Докажите, что A*=E+A+A^2+…+A^{n-1}. Покажите, что для нижнетреугольной матрицы, не являющейся строго нижне треугольной, этот факт может быть не верен.
11.	Рассматривается схема движения поездов, заданная следующими условиями: есть населенные пункты S и T и железные дороги из S в T, из T в S, а также две кольцевые дороги, по одной в каждом из пунктов. Пусть поезд А ездит по кольцевому маршруту в пункте S, время движения в пути – 2 часа. Поезд В ездит по кольцевому маршруту в пункте Т, время в пути – 3 часа. Поезда C и D курсируют из одного пункта в другой, причем дорога проложен таким, образом, что время в пути из S в T для каждого поезда составляет 3 часа, а из T в S – 5 часов. Составьте оптимальное периодичное расписание для этой системы. Можно ли уменьшить среднее время ожидания пассажирами поезда на станции, добавив в систему пятый поезд, курсирующий по кольцевой дороге в пункте Т? Найдите собственные значения возникающих матриц.
12.	В условиях предыдущей задачи допустим, что пятый поезд на кольцевой маршрут в пункте Т добавлен и двигается с той же скоростью, что и остальные поезда. Куда надо добавить шестой поезд, двигающийся с той же скоростью, чтобы среднее время ожидания поезда пассажиром на станции равнялось 8/3 ?
13.	Рассматривается система, состоящая из двух последовательных туннелей: из пункта А в пункт В и из пункта В в пункт С. Времена движения поездов на маршрутах:
                  АВ – 1 минута;
                  ВА – 4 минуты;
                  ВС – a минут;
                  СВ – 3 минуты.
По соображениям безопасности железной дороги в каждом туннеле в каждый момент времени может находиться не более одного поезда. Покажите, что временной интервал между поездами на участке АС (вместимость участка) равняется минимуму вместимостей каждого из туннелей. Верно ли это утверждение для большего числа туннелей и большего (меньшего) числа поездов в каждом туннеле? 
14.	Показать, что если хотя бы один из коэффициентов α, β эластичности по ресурсам линейно-однородной двухфакторной производственной функции F(K,L) не зависит от K, L, то F(K,L) является функцией Кобба – Дугласа.

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
а)	основная литература: 
1. С.А. Ашманов, «Введение в математическую экономику», Москва «Наука», 1984.
2. Дж. фон Нейман, О. Моргенштейн, «Теория игр и экономическое поведение», Москва «Наука», 1970.
3. А.А. Петров, И.Г. Поспелов, А.А. Шананин, «Опыт математического моделирования экономики», Москва «Энергоатомиздат», 1996.
4. F. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder, and J.P. Quadrat, «Synchronization and Linearity», Wiley, 1992.
5. R. Barlovic, T. Huisinga, A. Schadschneider, M. Schreckenberg, «Adaptive Traffic Light Control in the ChSch Model for City Traffic», Traffic and Granular Flow 03, Springer-Verlag, 2005.
6. R. David, H. Alla, «Discrete, Continuous and Hybrid Petri Nets», Springer, 2005.
7. M. Gondran, M. Minoux, «Graphs, Dioids and Semirings: New Models and Algorithms», Springer Science + Business Media, LLC, 2008.
               б) дополнительная литература:
1. В.А. Артамонов, В.Н. Латышев, «Линейная алгебра и выпуклая геометрия», Москва «Факториал Пресс», 2004.
2. С.А. Ашманов, А.В. Тимохов, «Теория оптимизации в задачах и упражнениях», Москва «Наука», 1991
2. Э. Мулен, «Теория игр с примерами из математической экономики», Москва «Мир», 1985.
3. И.Г. Поспелов, «Модели экономической динамики, основанные на равновесии прогнозов экономических агентов», Москва, «ВЦ РАН», 2003.
4. Hal Caswell, «Matrix Population Models. Construction, Analysis, and Interpretation», Massachusetts, Sinauer Associates, Inc. Publishers, 2001.
	  в) Ресурсы информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»:
Пакет для алгебраических вычислений SAGE: http://sagemath.org

9. Язык преподавания: русский

10. Преподаватель (преподаватели): Гутерман А.Э., Будревич М.В., Штейнер П.М.

11. Автор (авторы) программы: Гутерман А.Э.