РЕКОМЕНДУЕМАЯ ФОРМА для разработчиков 
основных профессиональных образовательных программ 
при реализации ОС МГУ на основе ФГОС 3+

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра __высшей алгебры____________________

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
____________/В.А. Артамонов /
«___» ________________20   г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Наименование дисциплины (модуля):
АЛГЕБРА
код и наименование дисциплины (модуля)

Уровень высшего образования: 
специалитет
указывается: бакалавриат, магистратура или специалитет

Направление подготовки (специальность): 

(код и название направления/специальности)
Направленность (профиль) ОПОП:

(если дисциплина (модуль) относится к вариативной части программы)

Форма обучения:

очная, очно-заочная

Рабочая программа рассмотрена и одобрена 
на заседании  кафедры высшей алгебры
(протокол №_1041___, «_14__» __июня__2017 года)

Москва 2017

На обратной стороне титула:
Рабочая программа дисциплины (модуля) разработана в соответствии с самостоятельно установленным МГУ образовательным стандартом (ОС МГУ) для реализуемых основных профессиональных образовательных программ высшего образования по направлению подготовки / специальности «_____________» (программы бакалавриата, магистратуры, реализуемых последовательно по схеме интегрированной подготовки; программы специалитета; программы магистратуры) в редакции приказа МГУ от 30 декабря 2016 г.

Год (годы) приема на обучение___________________________ 

1. Место дисциплины (модуля) в структуре ОПОП ВО (относится к базовой или вариативной части ОПОП ВО, или является факультативом).
2. Входные требования для освоения дисциплины (модуля), предварительные условия (если есть): Слушатели должны владеть математическими знаниями в рамках школьной программы.
Например: 
отсутствуют 
или:
освоение дисциплины «___________» и т.д.
3. Результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с требуемыми компетенциями выпускников.

Компетенции выпускников (коды)	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю), соотнесенные с компетенциями	
ОПК-1, ОПК-2	Знать: Знать основные понятия и результаты по алгебре (теория матриц, системы линейных уравнений, теория многочленов, линейные пространства и линейная зависимость). Студенты должны знать логические связи между ними.
Уметь: Уметь решать системы линейных уравнений, вычислять определители, проводить вычисления с комплексными числами, исследовать свойства многочленов.
Владеть: Владеть методами линейной алгебры, теории многочленов.

	

4. Формат обучения ________________________ (отметить, если дисциплина или часть ее реализуется с использованием электронного обучения и (или) дистанционных образовательных технологий)

5. Объем дисциплины (модуля) составляет __6___ з.е., в том числе _108__ академических часов, отведенных на контактную работу обучающихся с преподавателем, _108_ академических часов на самостоятельную работу обучающихся. 

6. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с указанием отведенного на них количества академических часов и виды учебных занятий 
Наименование и краткое содержание разделов и тем дисциплины (модуля),

Форма промежуточной аттестации по дисциплине (модулю)	Всего
(часы)	В том числе	
		Контактная работа 
(работа во взаимодействии с преподавателем)
Виды контактной работы, часы	Самостоятельная работа обучающегося,
 часы 
(виды самостоятельной работы – эссе, реферат, контрольная работа и пр. – указываются при необходимости)	
		Занятия лекционного типа*	Занятия семинарского типа*	Всего		
Тема 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.		4	4	8	Проверка домашнего задания, 8	
Тема 2. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Ранг системы векторов. Арифметическое векторное пространство.		6	6	12	Проверка домашнего задания, 12	
Тема 3. Подстановки. Операции над подстановками. Четность и знак подстановки.		2	2	4	Проверка домашнего задания, 4	
Тема 4. Определители.  Основные свойства, методы вычисления и приложения.		6	6	12	Контрольная работа, проверка домашнего задания, 12	
Тема 5. Операции над матрицами. 		8	8	16	Коллоквиум, проверка домашнего задания, 16 	
Тема 6. Основы теории групп.		4	4	8	Проверка домашнего задания, 8	
Тема 7. Основы теории   колец и полей. Поле комплексных чисел.		4	4	8	Проверка домашнего задания, 8	

Тема 8. Многочлены от одной переменной. 		10	10	20	Проверка домашнего задания, 16	
Тема 9. Поле рациональных дробей.  		2	2	4	Проверка домашнего задания, 4	
Тема 10. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.		8	8	16	Контрольная работа,  проверка домашнего задания, 16	
		54	54	108		
Промежуточная аттестация  Зачет, экзамен (указывается форма проведения)		4 (количество часов,** отведенных на промежуточную аттестацию)	
Итого	216	108	108	

*Внимание! В таблице должно быть зафиксировано проведение текущего контроля успеваемости, который может быть реализован, например, в рамках занятий семинарского типа.
** Часы, отводимые на проведение промежуточной аттестации, выделяются из часов самостоятельной работы обучающегося

7. Фонд оценочных средств (ФОС) для оценивания результатов обучения по дисциплине (модулю)
7.1. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения текущего контроля успеваемости.
Контрольная работа № 1.
1.	Решить систему линейных уравнений .
2.	Вычислить определитель .
3.	Найти ранг матрицы  в зависимости от параметра .
4.	Найти обратную матрицу для матрицы .
5.	Найти базис системы векторов , 
выразить небазисные векторы через базисные.
6.	Определить четность подстановки .

Контрольная работа № 2.
1.	Найти все корни 5 степени из  комплексного числа .
2.	Найти наибольший общий делитель многочленов и его линейное выражение через f и g над полем рациональных чисел.
3.	Отделить кратные множители многочлена  над полем комплексных чисел, применить схему Горнера.
4.	Построить систему Штурма и найти число корней многочлена на отрезке .
5.	Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел.
6.	Представить заданный симметрический многочлен  в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Вопросами коллоквиума являются вопросы 1-26   из списка вопросов к экзамену.
_________________________________________
7.2. Типовые контрольные задания или иные материалы для проведения промежуточной аттестации.
Вопросы к экзамену
1.	Система линейных алгебраических уравнений. Совместность и определенность. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
2.	Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости.
3.	База и ранг системы строк (столбцов).
4.	Ранг матрицы (совпадение рангов системы строк и системы столбцов).
5.	Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц.
6.	Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность).
7.	Разложение подстановки в произведение транспозиций. Знак произведения подстановок.
8.	Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность).
9.	Определитель транспонированной матрицы.
10.	Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы.
11.	Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю.
12.	Определитель матрицы с углом нулей.
13.	Определитель Вандермонда.
14.	Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о "фальшивом" разложении определителя.
15.	Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений.
16.	Теорема об окаймляющих минорах. Теорема о ранге матрицы.
17.	Операции над матрицами и их основные свойства. Обобщенная ассоциативность умножения матриц.
18.	Транспонирование произведения матриц.
19.	Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, её единственность. Скалярные матрицы.
20.	Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями.
21.	Определитель произведения матриц.
22.	Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Критерий  существования и способ нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
23.	Формула для нахождения элементов обратной матрицы (с помощью алгебраических дополнений).
24.	Ранг произведения матриц.
25.	Факторизационный ранг матрицы.
26.	Матричная запись системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация.
27.	Определение группы. Примеры групп. Единственность нейтрального и обратного элементов. Подгруппы. Изоморфизм групп.
28.	Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одинаковых порядков.
29.	Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия.
30.	Определение кольца. Примеры колец. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах. Определение поля. Примеры полей.
31.	Построение поля комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
32.	Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы.
33.	Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком.
34.	Наибольший общий делитель двух многочленов, его линейное выражение через заданные многочлены, алгоритм Евклида.
35.	Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.
36.	Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность неприводимого множителя и корня многочлена. Понижение кратности неприводимого множителя (корня) при дифференцировании, избавление от кратных множителей (корней).
37.	Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел.
38.	Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа и метод Ньютона для его построения.
39.	Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей.
40.	Границы действительных корней многочлена. 
41.	Теорема Декарта о числе положительных корней многочлена. 
42.	Теорема Штурма о числе корней многочлена на отрезке.
43.	Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов.
44.	Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета.
45.	Результант двух многочленов, критерий существования у двух многочленов общего делителя положительной степени. Исключение неизвестных.
46.	Выражение результанта двух многочленов через их корни.
47.	Дискриминант многочлена, выражение дискриминанта через корни многочлена.
_________________________________________

ШКАЛА И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ результатов обучения (РО) по дисциплине (модулю)  	
Оценка
РО и
соответствующие виды оценочных средств 	2	3	4	5	
Знания
(виды оценочных средств:  устные и письменные опросы и контрольные работы, тесты,  и т.п. )	Отсутствие знаний	Фрагментарные знания	Общие, но не структурированные знания	Сформированные систематические знания	
Умения
(виды оценочных средств: практические контрольные задания, написание и защита рефератов  на заданную тему и т.п.) 	Отсутствие умений	В целом успешное, но не систематическое умение	В целом успешное, но содержащее отдельные пробелы умение (допускает неточности непринципиального характера)	Успешное и систематическое умение	
Навыки 
(владения, опыт деятельности)
(виды оценочных средств: выполнение и защита курсовой работы, отчет по практике, отчет по НИР и т.п.) 	Отсутствие навыков (владений, опыта)	Наличие отдельных навыков (наличие фрагментарного опыта)	В целом, сформированные навыки (владения), но используемые не в активной форме	Сформированные навыки (владения), применяемые при решении задач	

8. Ресурсное обеспечение:
•	Перечень основной и дополнительной литературы:
Основная литература:
1.	Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: МЦНМО., 2009.
2.	Винберг Э. Б., Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
3.	Курош А.Г., Лекции по общей алгебре. Москва, Лань, 2007, 555 стр. 
4.	Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. М: МЦНМО, 2009.
Дополнительная литература:
1.	Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. Москва, Наука, 1976, 648 стр.
2.	Михалев А.В., Михалев А.А., Начала алгебры, часть 1. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2009.
3.	Ленг С., Алгебра, Москва, Наука, 1968, 564 стр.
•	Перечень лицензионного программного обеспечения (при необходимости)
•	Перечень профессиональных баз данных и информационных справочных систем 
•	Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (при необходимости)
Сайт кафедры высшей алгебры МГУ: http://halgebra.math.msu.su/wiki/doku.php
•	Описание материально-технического обеспечения:
Учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.

9. Язык преподавания. Русский.

10. Преподаватель (преподаватели). Доцент Клячко А.А., доцент Куликова О.В., доцент Марков В.Т., доцент Маркова О.В., доцент Тимашев Д.А., доцент Чубаров И.А., ассистент Гайфуллин С.А.., ассистент Шафаревич А.А., науч. сотр. Канунников А.Л.

11. Автор (авторы) программы. профессор В. А. Артамонов, профессор В. Н. Латышев, доцент В.Т.Марков