А.В. Алексеевский

В 1891 году Гурвиц ввел числа для подсчета мероморфных функций с заданной особенностью над бесконечно удаленной точкой и не более чем простыми особенностями над остальными точками римановой сферы. Числа Гурвица могут быть определены в топологических терминах как число классов n-листных накрытий сферы, разветвленных над фиксированным набором точек и имеющих заданные ветвления над каждой из них (введенные Гурвицем классические, или как пишут теперь, одиночные (single), числа связаны со специальными условиями на ветвления).

В последнее время числа Гурвица возникают и интенсивно изучаются в связи пространствами модулей мероморфных функций, инвариантами Громова-Виттена, двумерными теориями поля и др. Числа Гурвица удовлетворяют определенным соотношениям. Эти соотношения позволяют интерпретировать числа Гурвица как структурные константы алгебры, которая оказывается изоморфной центру групповой алгебры симметрической группы.

Аналог  чисел Гурвица был определен С.М.Натанзоном и докладчиком для накрытий поверхностей с краем с особенностями не только над отмеченными точками, но и над границей. В докладе будут рассмотрены два класса таких накрытий: 

(1) накрывающее пространство - тоже поверхность (с краем или без); 
(2) накрывающая поверхность - это т.наз. лоскутная поверхность, т.е. двумерный топологический комплекс, сшитый из поверхностей с краем по отрезкам границ так, что к одному шву (ребру) может примыкать несколько лоскутов (поверхностей).

И в том, и в другом случае обобщенные числа Гурвица интерпретируются как структурные константы алгебры, которая оказывается некоммутативной.  Алгебра, связанная с накрытиями лоскутными поверхностями, изоморфна некоторой алгебре, порожденной двудольными графами.