Пусть $\mathfrak{g}$ — простая конечномерная алгебрах Ли. Тогда множество инвариантных замкнутых подмногообразий в коприсоединённом представлении алгебры $\mathfrak{g}$ отождествляется с множеством инвариантных радикальных идеалов в алгебре $S(\mathfrak{g})$ и допускает явное описание в терминах нильпотентных и полупростых элементов алгебры $\mathfrak{g}$. В частности, число таких многообразий несчётно для всякой простой алгебры $\mathfrak{g}$.

Это описание может быть обобщено и на бесконечномерные локально простые алгебры Ли. При этом возникает следующий ряд эффектов, не имеющих аналогов в конечномерном случае:

1) Нетривиальные замкнутые инвариантные подмногообразия существуют только для трёх бесконечномерных локально простых алгебр Ли: $\mathfrak{sl}_{\infty}$, $\mathfrak{so}_{\infty}$, $\mathfrak{sp}_{\infty}$.

2) Для каждой из этих алгебр Ли множество инвариантных замкнутых подмногообразий в коприсоединённом представлении счётно и совпадает с множеством детерминантных подмногообразий $\mathfrak{sl}_{\infty}(< r)$, $\mathfrak{so}_{\infty}(< r)$, $\mathfrak{sp}_{\infty}(< r)$ (эти многообразия будут описаны достаточно явно).

Этим фактам, следствиям этих фактов для множества идеалов алгебры $\mathcal{U}(\mathfrak{g})$, а так же интересным (на мой взгляд) соображениям, использованным в доказательстве, и будет посвящён доклад.