Довольно давно Мацумото, Стайн, Е. Плоткин и докладчик научились работать в исключительных группах Шевалле, в первую очередь в $E_6$ и $E_7$, проводя вычисления с одним столбцом в их минимальных представлениях (в $27$-мерном и $56$-мерном, соответственно). Оказывается, нет никакой проблемы и в том, чтобы одновременно производить вычисления с несколькими столбцами (это будет продемонстрировано на примере $3$-х столбцов для $E_6$ и 6-ти столбцов для $E_7$), что даёт принципиально другой уровень технической свободы. Технически это построение большого числа унипотентных элементов в стабилизаторах векторов в больших представлениях. Будет рассказан background и некоторые недавние приложения. Важно подчеркунть, что все вычисления проходят над кольцом целых чисел, а не не только над полями характеристики $0$.