Цель доклада — обсудить связь между унирациональными алгебраическими многообразиями и такими аффинными алгебраическими многообразиями $X$, на которых группа SAut$(X)$ специальных автоморфизмов (получаемых из $(k,+)$-действий на $X$) действует на гладких т очках бесконечно транзитивно. В статье Аржанцева-Фленнера-Калимана-Кутчебауха-Зайденберга доказано, что любое такое многообразие унирационально, а также что обратное утверждение неверно. Однако в гипотезе Богомолова (пока не доказанной) утверждается, что для любого унирационального многообразия $Y$ существует такое $N$ и такая аффинная гладкая бирациональная модель $X$ многообразия $Y\times (k^N)$, что SAut$(X)$ действует на $X$ бесконечно транзитивно. Эта гипотеза доказана в частном случае, когда на $Y$ имеется достаточно (хотя бы $\dim Y$) структур расслоения с общим слоем $\mathbb{P}^1$.