С каждой редуктивной абелевой группой $\Gamma$ автоморфизмов (полу)простой комплексной алгебры Ли $\mathfrak g$ связана градуировка алгебры $\mathfrak g$, градуирующими подпространствами которой служат весовые подпространства группы $\Gamma$. Таким образом получаются корневое разложение, обобщенное корневое разложение (ассоциированное с внешним автоморфизмом алгебры $\mathfrak g$), различные циклические градуировки и пр.

Интересно, однако, рассматривать и «неабелевы градуировки», под которыми я понимаю разложение алгебры $\mathfrak g$ на изотипные компоненты относительно некоторой редуктивной неабелевой группы автоморфизмов. В этом случае коммутатор двух градуирующих подпространств, вообще говоря, не лежит в каком-либо одном градуирующем подпространстве. Тем не менее, при некоторых дополнительных предположениях формулы для коммутаторов выглядят достаточно просто и доставляют полезную информацию о строении алгебры Ли.

В докладе будет рассказано об одном типе таких неабелевых градуировок — коротких $SL(3)$-структурах. Короткой $SL(3)$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak g$ называется подгруппа $L \subset \operatorname{Aut}(\mathfrak g)$, локально изоморфная $SL(3)$, относительно которой алгебра $\mathfrak g$ разлагается в сумму подалгебры $\mathfrak l=\operatorname{Lie}(L)$ и неприводимых компонент размерностей $3$ и $1$. Доказывается, что в любой простой алгебре Ли, кроме $C_n$, такая структура существует и единственна с точностью до автоморфизма. В терминах этой структуры алгебра $\mathfrak g$ однозначно восстанавливается по некоторой кубической форме (в пространстве меньшего числа измерений), которую я называю нормой алгебры $\mathfrak g$. Доказывается, что кубическая форма $N$ в пространстве $V$ является нормой некоторой простой алгебры Ли тогда и только тогда, когда группа линейных преобразований, сохраняющих конус $N=0$ (то есть умножающих форму $N$ на число), редуктивна и имеет в $V$ открытую орбиту.