Многие классификационные задачи сводятся к следующей ситуации. Имеется однородное многообразие $X$ комплексной алгебраической группы $G^{\mathbb{C}}$, причём и многообразие, и группа, и действие определены над полем $\mathbb{R}$. Тогда группа вещественных точек $G=G^{\mathbb{C}}(\mathbb{R})$ действует на множестве вещественных точек $X(\mathbb{R})$ уже, вообще говоря, не транзитивно, но с конечным числом орбит, и задача состоит в том, чтобы описать эти орбиты. Знакомый всем пример — классификация квадратичных форм над полем действительных чисел. Здесь пространство $Q_n$ комплексных (невырожденных) квадратичных форм от $n$ переменных снабжено транзитивным действием группы $GL_n(\mathbb{C})$, в то время как множество $Q_n(\mathbb{R})$ вещественных квадратичных форм распадается на $n+1$ орбит группы $GL_n(\mathbb{R})$, нумеруемых сигнатурами.

В докладе мы решим задачу описания вещественных орбит в случае, когда $X$ — симметрическое пространство полупростой группы $G^{\mathbb{C}}$. Решение в указанном случае было анонсировано в книге A. Borel, L. Ji «Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces» (2006), однако аргументы там неполны, и ответ в общем случае неверен (и даже не может быть верным, так как внутренне противоречив). Мы исправим эту ошибку и дадим верный ответ. Наш метод, как и в вышеупомянутой книге, основан на теории когомологий Галуа, а также на структурных результатах о вещественных симметрических пространствах (не обязательно риманова типа).

Полученный результат может быть переведён с языка когомологий Галуа на геометрический язык. Эта геометрическая формулировка имеет смысл (возможно, с некоторыми поправками) для произвольного сферического однородного многообразия $X$ комплексной редуктивной группы $G^{\mathbb{C}}$ (по крайней мере, если $G$ — расщепимая вещественная форма группы $G^{\mathbb{C}}$). Классификация $G$-орбит на $X(\mathbb{R})$ в этом случае — предмет текущих совместных исследований S. Cupit-Foutou и докладчика.