Известно, что все комплексные неприводимые представления нильпотентных конечных групп мономиальны, то есть индуцированы с характеров подгрупп. Кириллов и Диксмье независимо доказали аналогичное утверждение для унитарных неприводимых представлений связных нильпотентных групп Ли. Будет обсуждаться доказательство гипотезы А.Н. Паршина, утверждающей, что комплексное неприводимое представление нильпотентной конечно порожденной группы мономиально тогда и только тогда, когда оно является представлением с конечным весом (при этом на представлениях не рассматривается никакой топологической структуры). Представление $\pi$ группы $G$ называется представлением с конечным весом, если существуют такие подгруппа $H \subset G$ и ее характер $\chi : H \rightarrow \mathbb{C}^{*}$, что векторное пространство $\operatorname{Hom}_{H}(\chi,\pi\vert_{H})$ непусто и конечномерно.

В качестве вспомогательного результата будет показано, что для широкого класса индуцированных представлений имеет место обратное утверждение к лемме Шура. А именно, верно следующее утверждение. Пусть $H$ — нормальная подгруппа произвольной группы $G$. Пусть $\rho$ — такое комплексное неприводимое представление группы $H$, что конечно индуцированное представление $\operatorname{ind}^{G}_{H}(\rho)$ удовлетворяет условию $\operatorname{End}_{G}(\operatorname{ind}^{G}_{H}(\rho))=\mathbb{C}$. Тогда представление $\operatorname{ind}^{G}_{H} (\rho)$ неприводимо. Будут приведены примеры неиндуцированных неприводимых представлений группы Гейзенберга над кольцом целых чисел.