Коэффициенты Клебша-Гордана в базисе Гельфанда-Цетлина для $\mathfrak gl_3$ играют важную роль в теории кварков. Поэтому начиная с 60-х годов прошлого века велась активная работа по их вычислению. Тем не менее по настоящему явная формула так и не была получена. Несмотря на это оставалась надежда, что громоздкие формулы для коэффициентов Клебша-Гордана становятся существенно более простыми при правильном взгляде на них (в частности, про это спрашивает одна из "задач Арнольда").

В одной из первых работ, посвященных вычислению этих коэффициентов приведена очень интересная формула. Возьмём реализацию неприводимого представления $\mathfrak{gl}_3$ в виде функций на группе $GL_3$. Тогда функция, соответствующая базисному вектору Гельфанда-Цетлина, выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса $F_{2,1}$. Также намечен путь вывода формул для действия генераторов алгебры на эти векторы через соотношения типа смежности для $F_{2,1}$.

Для функции, соответствующей диаграмме Гельфанда-Цетлина, имеется другое, более естественное представление — через функцию Гельфанда–Капранова–Зелевинского (ГКЗ).

В докладе будет дана действительно явная, обозримая формула для коэффициентов Клебша–Гордана для $\mathfrak gl_3$. Ключевую роль при их вычислении играют тождества для функций ГКЗ, прежде всего, некоторая формула для разложения произведения двух функций ГКЗ.