10 ноября 2021 г. | ||
Дмитрий Тимашев
(мехмат МГУ)
Группа компонент и когомологии Галуа вещественной редуктивной группы Пусть $G$ — связная линейная алгебраическая группа, определённая над полем вещественных чисел. Группа её комплексных точек $G(\mathbb{C})$ является связной комплексной группой Ли, однако группа вещественных точек $G(\mathbb{R})$ — уже, вообще говоря, несвязная вещественная группа Ли: примерами тому служат $GL_n(\mathbb{R})$ или $SO_{k,l}(\mathbb{R})$. Естественная задача состоит в вычислении группы компонент связности $\pi_0G(\mathbb{R})=G(\mathbb{R})/G(\mathbb{R})^\circ$. Оказывается, эта задача связана с другой задачей теории алгебраических групп: вычислением вещественных когомологий Галуа группы $G$. Обе задачи сводятся к случаю редуктивных групп. Мы дадим единообразное эффективное решение обеих задач в терминах комбинаторных данных, определяющих вещественную редуктивную группу $G$ (аффинная диаграмма Дынкина и целочисленные отметки на её вершинах, решётка характеров максимального тора вместе с инволюцией, и т.п.). Хотя ответы имеют чисто алгебраический и комбинаторный характер, доказательства используют трансцендентные лиевские методы, такие как экспоненциальное отображение торов и действие аффинных групп Вейля на их алгебрах Ли. Доклад основан на совместных работах с Михаилом Боровым arXiv:2008.11763 (опубликовано в Transform. Groups 26 (2021), no. 2, 433–477) и arXiv:2110.13062. список заседаний 2021–2022 |