Рассматриваются линейные операторы на $n$-мерном комплексном векторном пространстве $V$. Централизатор $Z(\mathcal{A})$ линейного оператора $\mathcal{A}$ является подалгеброй в алгебре всех линейных операторов $L(V)$.

Теорема 1. Минимальная (по всем операторам $\mathcal{A}\in L(V)$) размерность $Z(\mathcal{A})$ равна $n$.

Чтобы доказать теорему, можно в первую очередь заметить, что $Z(\mathcal{A})=Z(\mathcal{A}_s)\cap Z(\mathcal{A}_n)$, а $Z(\mathcal{A}_s)\simeq L(V^{\lambda_1})\times\dots\times L(V^{\lambda_m})$ состоит из операторов, сохраняющих каждое корневое подпространство $V^{\lambda_i}$ ($i=1,\dots,m$) оператора $\mathcal{A}$ (в базисе пространства $V$, составленном из базисов корневых подпространств, такие операторы записываются блочно-диагональными матрицами). Поэтому достаточно доказать утверждение теоремы для нильпотентных операторов.

В жордановой форме матрица $A$ нильпотентного оператора $\mathcal{A}$ составлена из нильпотентных жордановых клеток, идущих по диагонали. Централизатор одной такой жордановой клетки $J$ размера $k\times k$ состоит из многочленов от $J$, т.е. матриц вида $$ \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{k-1} \\ & a_0 & a_1 & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & a_2 \\ & \mathrm{O} & & a_0 & a_1 \\ & & & & a_0 \\ \end{pmatrix}, $$ так что $\dim Z(J)=k$. Блочно-диагональные матрицы, составленные из таких блоков по всем жордановым клеткам матрицы $A$, образуют в $Z(A)$ подпространство размерности $n$, что и доказывает теорему.

Следующие свойства линейного оператора эквивалентны:

1) $\dim Z(\mathcal{A})=n$;

2) $Z(\mathcal{A})=\mathbb{C}[\mathcal{A}]$;

3) $\deg m_{\mathcal{A}}=n$, где $m_{\mathcal{A}}$ — минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}$;

4) для каждого собственного значения $\lambda_i$ в жордановой форме матрицы $\mathcal{A}$ имеется единственная жорданова клетка с этим собственным значением;

5) в пространстве $V$ существует циклический вектор $v_0$ для оператора $\mathcal{A}$, т.е. $V=\mathbb{C}[\mathcal{A}]v_0$.

Импликация 4)$\implies$1) уже доказана выше, а 1)$\implies$4) следует из того, что при наличии в жордановой форме оператора двух жордановых клеток с одинаковым собственным значением легко предъявить матрицу $B\in Z(A)$, не принадлежащую $n$-мерному подпространству, построенному в доказательстве теоремы 1. Из 2) следуют свойства 1) и 3) ввиду неравенств $\dim Z(\mathcal{A})\ge n$ и $\dim\mathbb{C}[\mathcal{A}]=\deg m_{\mathcal{A}}\le n$ Эквивалентность свойств 3) и 4) вытекает из известной формулы для минимального многочлена жордановой матрицы. Свойство 5) выводится из 4), если положить вектор $v_0$ равным сумме порождающих векторов всех жордановых циклов в жордановом базисе оператора $\mathcal{A}$. Наконец, 5) влечёт 2), поскольку каждый оператор $\mathcal{B}\in Z(\mathcal{A})$ однозначно определяется своим значением на $v_0$ и действует на $v_0$ так же, как некоторый многочлен от $\mathcal{A}$.

Определение. Линейные операторы, удовлетворяющие эквивалентным свойствам 1)—5) (и их матрицы) называются регулярными, а остальные — сингулярными. Множества регулярных и сингулярных линейных операторов обозначаются $L(V)^{\text{reg}}$ и $L(V)^{\text{sing}}$, соответственно.

На пространстве линейных операторов $L(V)$ можно определить скалярное умножение по формуле $$(\mathcal{X},\mathcal{Y})=\operatorname{tr}\mathcal{X}\mathcal{Y}.$$ Это невырожденная симметрическая билинейная форма, обладающая следующими свойствами:

1) $(\mathcal{A}\mathcal{X}\mathcal{A}^{-1},\mathcal{A}\mathcal{Y}\mathcal{A}^{-1})=(\mathcal{X},\mathcal{Y})$;

2) $([\mathcal{X},\mathcal{Z}],\mathcal{Y})=(\mathcal{X},[\mathcal{Z},\mathcal{Y}])$

(свойство 2) можно получить из 1), подставляя $\mathcal{A}=\exp tZ$ и дифференцируя по $t$ при $t=0$).

С каждым линейным оператором $\mathcal{A}\in L(V)$ можно связать кососимметрическую билинейную форму на $L(V)$: $$f_{\mathcal{A}}(\mathcal{X},\mathcal{Y})=(\mathcal{A},[\mathcal{X},\mathcal{Y}]).$$

Теорема 2. $\operatorname{Ker}f_{\mathcal{A}}=Z(\mathcal{A})$.

Для доказательства нужно преобразовать формулу для $f_{\mathcal{A}}$, перебросив коммутирование с $\mathcal{X}$ на первый аргумент скалярного произведения по свойству 2), и, предполагая, что $\mathcal{X}\in\operatorname{Ker}f_{\mathcal{A}}$, воспользоваться невырожденностью скалярного умножения.

Следствие. $\dim Z(\mathcal{A})\equiv n\pmod2$.

Следующее утверждение важно, например, в теории интегрируемых гамильтоновых систем.

Предложение. Через каждый регулярный оператор (матрицу) можно провести прямую в пространстве $L(V)$ (соответственно, $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{C})$), состоящую только из регулярных оператров (матриц).

В самом деле, соединим регулярный оператор $\mathcal{A}$ прямыми со всеми сингулярными операторами. Из задачи 16.1 следует, что построенное семейство прямых заметает множество линейных операторов, замыкание которого является алгебраическим подмногообразием коразмерности 2 в $L(V)$. Значит, через $\mathcal{A}$ можно провести прямую, не лежащую в этом семействе.

На самом деле, справедливо значительно более сильное утверждение: через каждый регулярный линейный оператор можно провести $n$-мерную плоскость, состоящую только из регулярных операторов и пересекающую орбиты всех регулярных операторов по одной точке (см. задачи 16.2—16.4).

Задача 16.1. $\operatorname{codim}L(V)^{\text{sing}}=3$.

Задача 16.2. Все матрицы вида $$ \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} \\ 1 & a_0 & a_1 & \ddots & \vdots \\ & 1 & \ddots & \ddots & a_2 \\ & & \ddots & a_0 & a_1 \\ \mathrm{O} & & & 1 & a_0 \\ \end{pmatrix} $$ регулярны.

Задача 16.3. Всякая регулярная матрица подобна матрице из задачи 16.2.

Задача 16.4. Никакие две различные матрицы из задачи 16.2 не подобны друг другу.