Пусть группа $G$ действует на множестве $X$, $Y\subset X$ — некоторое подмножество, а $H\subset G$ — подгруппа, сохраняющая $Y$.

Определение 1. Действие $H$ на $Y$ называется согласованным с действием $G$ на $X$, если $y_1\underset{G}\sim y_2\implies y_1\underset{H}\sim y_2$ для любых $y_1,y_2\in Y$ (иначе говоря, $Gy\cap Y=Hy$, $\forall y\in Y$).

Определение 2. Нормализатор подмножества $Y$ в группе $G$ — это подгруппа $N(Y)=N_G(Y)\subset G$, состоящая из всех таких $g\in G$, что $gY=Y$.

Легко видеть, что если действие $H$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$, то тем более согласовано действие $N(Y)$ на $Y$. ($N(Y)$ является в этой ситуации самой большой подгруппой в $G$, действие которой на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$.)

Определение 3. Подмножество $Y\subset X$ называется согласованным с действием $G$ на $X$, если действие $N(Y)$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$.

Пример. Пусть $G=GL_n(\mathbb{K})$ действует на $X=\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями, $D\subset X$ — пространство диагональных матриц, $N\subset G$ — группа мономиальных матриц. Тогда действие $N$ на $D$ согласовано с действием $G$ на $X$, причём $N=N(D)$.

Пример согласованного действия с $H=\{e\}$ даётся задачами 16.2—16.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.1—17.3.

Следующий пример представляет для нас особый интерес.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $V^*$ — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение $\mathcal{A}:V\to V^*$ можно рассматривать как билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ на $V$, определяемую по формуле $$f_{\mathcal{A}}(x,y)=(\mathcal{A}y)(x),\qquad\forall x,y\in V.$$ При этом матрица отображения $\mathcal{A}$ в двойственных друг другу базисах $e$ и $e^*$ пространств $V$ и $V^*$ совпадает с матрицей билинейной формы $f_{\mathcal{A}}$ в базисе $e$. Сопряжённому отображению $\mathcal{A}^*:V\simeq V^{**}\to V^*$ отвечает билинейная форма $f_{\mathcal{A}^*}(x,y)=f_{\mathcal{A}}(y,x)$.

Обозначим через $L^+(V,V^*)$ ($L^-(V,V^*)$) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из $V$ в $V^*$, т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам.

Теорема 1. Действие $GL(V)$ на $L^{\pm}(V,V^*)$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^*)$ на $L(V,V^*)$ (вложение $GL(V)\hookrightarrow GL(V)\times GL(V^*)$ задаётся соответствием $\mathcal{C}\mapsto(\mathcal{C},(\mathcal{C}^{-1})^*)$).

Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на $V$ эквивалентны как линейные отображения из $V$ в $V^*$ (где $V$ и $V^*$ рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы.

Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения.

Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему.

Пусть $f$ и $g$ — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве $V$. Будем рассматривать их как линейные отображения $$\mathcal{A},\mathcal{B}: V \to V^*.$$ Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы $GL(V)\times GL(V^*)$, т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы $\mathcal{C}\in GL(V)$, $\mathcal{D}\in GL(V^*)$, что

(1)$\quad\mathcal{B}=\mathcal{D}\mathcal{A}\mathcal{C}$.

Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака)

(2)$\quad\mathcal{B}=\mathcal{C}^*\mathcal{A}\mathcal{D}^*$.

Из (1) и (2) следует, что

(3)$\quad\mathcal{P}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{P}^*$,

где $\mathcal{P}=\mathcal{D}^{-1}\mathcal{C}^*\in GL(V^*)$ и, значит,

(4)$\quad\mathcal{Q}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{Q}^*$

для любого оператора $\mathcal{Q}$, являющегося многочленом от $\mathcal{P}$. Подберём этот многочлен так, чтобы $\mathcal{Q}^2=\mathcal{P}$. Тогда $\mathcal{D}\mathcal{Q}=\mathcal{C}^*\mathcal{Q}^{-1}$ и $$ (\mathcal{D}\mathcal{Q})\mathcal{A}(\mathcal{D}\mathcal{Q})^*=\mathcal{C}^*\mathcal{Q}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{Q}^*\mathcal{D}^*=\mathcal{C}^*\mathcal{A}\mathcal{D}^*=\mathcal{B}. $$ Тем самым доказано, что билинейные формы $f$ и $g$ эквивалентны.

Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается

Теорема 2. Действие $GL(V)$ на $$\underbrace{L^{\pm}(V,V^*)\times\dots\times L^{\pm}(V,V^*)}_k$$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^*)$ на $$\underbrace{L(V,V^*)\times\dots\times L(V,V^*)}_k.$$

предыдущий семинар	19 февраля 2014 г.	следующий семинар
Тема 17 Cогласованные действия Пусть группа $G$ действует на множестве $X$, $Y\subset X$ — некоторое подмножество, а $H\subset G$ — подгруппа, сохраняющая $Y$. Определение 1. Действие $H$ на $Y$ называется согласованным с действием $G$ на $X$, если $y_1\underset{G}\sim y_2\implies y_1\underset{H}\sim y_2$ для любых $y_1,y_2\in Y$ (иначе говоря, $Gy\cap Y=Hy$, $\forall y\in Y$). Определение 2. Нормализатор подмножества $Y$ в группе $G$ — это подгруппа $N(Y)=N_G(Y)\subset G$, состоящая из всех таких $g\in G$, что $gY=Y$. Легко видеть, что если действие $H$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$, то тем более согласовано действие $N(Y)$ на $Y$. ($N(Y)$ является в этой ситуации самой большой подгруппой в $G$, действие которой на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$.) Определение 3. Подмножество $Y\subset X$ называется согласованным с действием $G$ на $X$, если действие $N(Y)$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$. Пример. Пусть $G=GL_n(\mathbb{K})$ действует на $X=\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями, $D\subset X$ — пространство диагональных матриц, $N\subset G$ — группа мономиальных матриц. Тогда действие $N$ на $D$ согласовано с действием $G$ на $X$, причём $N=N(D)$. Пример согласованного действия с $H=\{e\}$ даётся задачами 16.2—16.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.1—17.3. Следующий пример представляет для нас особый интерес. Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $V^$ — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение $\mathcal{A}:V\to V^$ можно рассматривать как билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ на $V$, определяемую по формуле $$f_{\mathcal{A}}(x,y)=(\mathcal{A}y)(x),\qquad\forall x,y\in V.$$ При этом матрица отображения $\mathcal{A}$ в двойственных друг другу базисах $e$ и $e^$ пространств $V$ и $V^$ совпадает с матрицей билинейной формы $f_{\mathcal{A}}$ в базисе $e$. Сопряжённому отображению $\mathcal{A}^:V\simeq V^{}\to V^$ отвечает билинейная форма $f_{\mathcal{A}^}(x,y)=f_{\mathcal{A}}(y,x)$. Обозначим через $L^+(V,V^)$ ($L^-(V,V^)$) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из $V$ в $V^$, т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам. Теорема 1. Действие $GL(V)$ на $L^{\pm}(V,V^)$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^)$ на $L(V,V^)$ (вложение $GL(V)\hookrightarrow GL(V)\times GL(V^)$ задаётся соответствием $\mathcal{C}\mapsto(\mathcal{C},(\mathcal{C}^{-1})^)$). Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на $V$ эквивалентны как линейные отображения из $V$ в $V^$ (где $V$ и $V^$ рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы. Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения. Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему. Пусть $f$ и $g$ — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве $V$. Будем рассматривать их как линейные отображения $$\mathcal{A},\mathcal{B}: V \to V^.$$ Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы $GL(V)\times GL(V^)$, т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы $\mathcal{C}\in GL(V)$, $\mathcal{D}\in GL(V^)$, что (1)$\quad\mathcal{B}=\mathcal{D}\mathcal{A}\mathcal{C}$. Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака) (2)$\quad\mathcal{B}=\mathcal{C}^\mathcal{A}\mathcal{D}^$. Из (1) и (2) следует, что (3)$\quad\mathcal{P}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{P}^$, где $\mathcal{P}=\mathcal{D}^{-1}\mathcal{C}^\in GL(V^)$ и, значит, (4)$\quad\mathcal{Q}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{Q}^$ для любого оператора $\mathcal{Q}$, являющегося многочленом от $\mathcal{P}$. Подберём этот многочлен так, чтобы $\mathcal{Q}^2=\mathcal{P}$. Тогда $\mathcal{D}\mathcal{Q}=\mathcal{C}^\mathcal{Q}^{-1}$ и $$ (\mathcal{D}\mathcal{Q})\mathcal{A}(\mathcal{D}\mathcal{Q})^=\mathcal{C}^\mathcal{Q}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{Q}^\mathcal{D}^=\mathcal{C}^\mathcal{A}\mathcal{D}^=\mathcal{B}. $$ Тем самым доказано, что билинейные формы $f$ и $g$ эквивалентны. Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается Теорема 2. Действие $GL(V)$ на $$\underbrace{L^{\pm}(V,V^)\times\dots\times L^{\pm}(V,V^)}_k$$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^)$ на $$\underbrace{L(V,V^)\times\dots\times L(V,V^)}_k.$$ Задачи Задача 17.1. Действие $N$ на $D\times\dots\times D$ (одновременными сопряжениями) согласовано с действием $GL_n(\mathbb{K})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})\times\dots\times\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$. Задача 17.2. Пусть $\mathbb{L}\supset\mathbb{K}$ — произвольное расширение поля $\mathbb{K}$. Тогда действие $GL_n(\mathbb{K})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями согласовано с действием $GL_n(\mathbb{L})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{L})$ (ср. задачу 2.2). Задача 17.3. Подмножество треугольных матриц не согласовано с действием $GL_n(\mathbb{C})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{C})$ сопряжениями.