Processing math: 100%
предыдущий семинар 19 февраля 2014 г. следующий семинар

Тема 17

Cогласованные действия

Пусть группа G действует на множестве X, YX — некоторое подмножество, а HG — подгруппа, сохраняющая Y.

Определение 1. Действие H на Y называется согласованным с действием G на X, если y1Gy2y1Hy2 для любых y1,y2Y (иначе говоря, GyY=Hy, yY).

Определение 2. Нормализатор подмножества Y в группе G — это подгруппа N(Y)=NG(Y)G, состоящая из всех таких gG, что gY=Y.

Легко видеть, что если действие H на Y согласовано с действием G на X, то тем более согласовано действие N(Y) на Y. (N(Y) является в этой ситуации самой большой подгруппой в G, действие которой на Y согласовано с действием G на X.)

Определение 3. Подмножество YX называется согласованным с действием G на X, если действие N(Y) на Y согласовано с действием G на X.

Пример. Пусть G=GLn(K) действует на X=Matn(K) сопряжениями, DX — пространство диагональных матриц, NG — группа мономиальных матриц. Тогда действие N на D согласовано с действием G на X, причём N=N(D).

Пример согласованного действия с H={e} даётся задачами 16.216.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.117.3.

Следующий пример представляет для нас особый интерес.

Пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство, V — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение A:VV можно рассматривать как билинейную форму fA на V, определяемую по формуле fA(x,y)=(Ay)(x),x,yV. При этом матрица отображения A в двойственных друг другу базисах e и e пространств V и V совпадает с матрицей билинейной формы fA в базисе e. Сопряжённому отображению A:VVV отвечает билинейная форма fA(x,y)=fA(y,x).

Обозначим через L+(V,V) (L(V,V)) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из V в V, т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам.

Теорема 1. Действие GL(V) на L±(V,V) согласовано с действием GL(V)×GL(V) на L(V,V) (вложение GL(V)GL(V)×GL(V) задаётся соответствием C(C,(C1))).

Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на V эквивалентны как линейные отображения из V в V (где V и V рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы.

Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения.

Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему.

Пусть f и g — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве V. Будем рассматривать их как линейные отображения A,B:VV. Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы GL(V)×GL(V), т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы CGL(V), DGL(V), что

(1)B=DAC.

Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака)

(2)B=CAD.

Из (1) и (2) следует, что

(3)PA=AP,

где P=D1CGL(V) и, значит,

(4)QA=AQ

для любого оператора Q, являющегося многочленом от P. Подберём этот многочлен так, чтобы Q2=P. Тогда DQ=CQ1 и (DQ)A(DQ)=CQ1AQD=CAD=B. Тем самым доказано, что билинейные формы f и g эквивалентны.

Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается

Теорема 2. Действие GL(V) на L±(V,V)××L±(V,V)k согласовано с действием GL(V)×GL(V) на L(V,V)××L(V,V)k.


Задачи

Задача 17.1. Действие N на D××D (одновременными сопряжениями) согласовано с действием GLn(K) на Matn(K)××Matn(K).

Задача 17.2. Пусть LK — произвольное расширение поля K. Тогда действие GLn(K) на Matn(K) сопряжениями согласовано с действием GLn(L) на Matn(L) (ср. задачу 2.2).

Задача 17.3. Подмножество треугольных матриц не согласовано с действием GLn(C) на Matn(C) сопряжениями.