Пусть группа $G$ действует на множестве $X$ , $Y\subset X$ — некоторое подмножество, а $H\subset G$ — подгруппа, сохраняющая $Y$ .

Действие $H$ на $Y$ называется согласованным с действием $G$ на $X$ , если $y_1\underset{G}\sim y_2\implies y_1\underset{H}\sim y_2$ для любых $y_1,y_2\in Y$ (иначе говоря, $Gy\cap Y=Hy$ , $\forall y\in Y$ ).

Нормализатор подмножества $Y$ в группе $G$ — это подгруппа $N(Y)=N_G(Y)\subset G$ , состоящая из всех таких $g\in G$ , что $gY=Y$ .

Легко видеть, что если действие $H$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ , то тем более согласовано действие $N(Y)$ на $Y$ . ( $N(Y)$ является в этой ситуации самой большой подгруппой в $G$ , действие которой на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ .)

Подмножество $Y\subset X$ называется согласованным с действием $G$ на $X$ , если действие $N(Y)$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ .

Пусть $G=GL_n(\mathbb{K})$ действует на $X=\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями, $D\subset X$ — пространство диагональных матриц, $N\subset G$ — группа мономиальных матриц. Тогда действие $N$ на $D$ согласовано с действием $G$ на $X$ , причём $N=N(D)$ .

Пример согласованного действия с $H=\{e\}$ даётся задачами 16.2—16.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.1—17.3.

Следующий пример представляет для нас особый интерес.

Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $V^*$ — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение $\mathcal{A}:V\to V^*$ можно рассматривать как билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ на $V$ , определяемую по формуле $f_{\mathcal{A}}(x,y)=(\mathcal{A}y)(x),\qquad\forall x,y\in V.$ При этом матрица отображения $\mathcal{A}$ в двойственных друг другу базисах $e$ и $e^*$ пространств $V$ и $V^*$ совпадает с матрицей билинейной формы $f_{\mathcal{A}}$ в базисе $e$ . Сопряжённому отображению $\mathcal{A}^*:V\simeq V^{**}\to V^*$ отвечает билинейная форма $f_{\mathcal{A}^*}(x,y)=f_{\mathcal{A}}(y,x)$ .

Обозначим через $L^+(V,V^*)$ ( $L^-(V,V^*)$ ) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из $V$ в $V^*$ , т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам.

Действие $GL(V)$ на $L^{\pm}(V,V^*)$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^*)$ на $L(V,V^*)$ (вложение $GL(V)\hookrightarrow GL(V)\times GL(V^*)$ задаётся соответствием $\mathcal{C}\mapsto(\mathcal{C},(\mathcal{C}^{-1})^*)$ ).

Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на $V$ эквивалентны как линейные отображения из $V$ в $V^*$ (где $V$ и $V^*$ рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы.

Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения.

Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему.

Пусть $f$ и $g$ — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве $V$ . Будем рассматривать их как линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}: V \to V^*.$ Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы $GL(V)\times GL(V^*)$ , т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы $\mathcal{C}\in GL(V)$ , $\mathcal{D}\in GL(V^*)$ , что

(1) $\quad\mathcal{B}=\mathcal{D}\mathcal{A}\mathcal{C}$ .

Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака)

(2) $\quad\mathcal{B}=\mathcal{C}^*\mathcal{A}\mathcal{D}^*$ .

Из (1) и (2) следует, что

(3) $\quad\mathcal{P}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{P}^*$ ,

где $\mathcal{P}=\mathcal{D}^{-1}\mathcal{C}^*\in GL(V^*)$ и, значит,

(4) $\quad\mathcal{Q}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{Q}^*$

для любого оператора $\mathcal{Q}$ , являющегося многочленом от $\mathcal{P}$ . Подберём этот многочлен так, чтобы $\mathcal{Q}^2=\mathcal{P}$ . Тогда $\mathcal{D}\mathcal{Q}=\mathcal{C}^*\mathcal{Q}^{-1}$ и $(\mathcal{D}\mathcal{Q})\mathcal{A}(\mathcal{D}\mathcal{Q})^*=\mathcal{C}^*\mathcal{Q}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{Q}^*\mathcal{D}^*=\mathcal{C}^*\mathcal{A}\mathcal{D}^*=\mathcal{B}.$ Тем самым доказано, что билинейные формы $f$ и $g$ эквивалентны.

Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается

Действие $GL(V)$ на $\underbrace{L^{\pm}(V,V^*)\times\dots\times L^{\pm}(V,V^*)}_k$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^*)$ на $\underbrace{L(V,V^*)\times\dots\times L(V,V^*)}_k.$

предыдущий семинар	19 февраля 2014 г.	следующий семинар
Тема 17 Cогласованные действия Пусть группа $G$ действует на множестве $X$ , $Y\subset X$ — некоторое подмножество, а $H\subset G$ — подгруппа, сохраняющая $Y$ . Действие $H$ на $Y$ называется согласованным с действием $G$ на $X$ , если $y_1\underset{G}\sim y_2\implies y_1\underset{H}\sim y_2$ для любых $y_1,y_2\in Y$ (иначе говоря, $Gy\cap Y=Hy$ , $\forall y\in Y$ ). Нормализатор подмножества $Y$ в группе $G$ — это подгруппа $N(Y)=N_G(Y)\subset G$ , состоящая из всех таких $g\in G$ , что $gY=Y$ . Легко видеть, что если действие $H$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ , то тем более согласовано действие $N(Y)$ на $Y$ . ( $N(Y)$ является в этой ситуации самой большой подгруппой в $G$ , действие которой на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ .) Подмножество $Y\subset X$ называется согласованным с действием $G$ на $X$ , если действие $N(Y)$ на $Y$ согласовано с действием $G$ на $X$ . Пусть $G=GL_n(\mathbb{K})$ действует на $X=\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями, $D\subset X$ — пространство диагональных матриц, $N\subset G$ — группа мономиальных матриц. Тогда действие $N$ на $D$ согласовано с действием $G$ на $X$ , причём $N=N(D)$ . Пример согласованного действия с $H=\{e\}$ даётся задачами 16.2—16.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.1—17.3. Следующий пример представляет для нас особый интерес. Пусть $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство, $V^$ — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение $\mathcal{A}:V\to V^$ можно рассматривать как билинейную форму $f_{\mathcal{A}}$ на $V$ , определяемую по формуле $f_{\mathcal{A}}(x,y)=(\mathcal{A}y)(x),\qquad\forall x,y\in V.$ При этом матрица отображения $\mathcal{A}$ в двойственных друг другу базисах $e$ и $e^$ пространств $V$ и $V^$ совпадает с матрицей билинейной формы $f_{\mathcal{A}}$ в базисе $e$ . Сопряжённому отображению $\mathcal{A}^:V\simeq V^{}\to V^$ отвечает билинейная форма $f_{\mathcal{A}^}(x,y)=f_{\mathcal{A}}(y,x)$ . Обозначим через $L^+(V,V^)$ ( $L^-(V,V^)$ ) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из $V$ в $V^$ , т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам. Действие $GL(V)$ на $L^{\pm}(V,V^)$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^)$ на $L(V,V^)$ (вложение $GL(V)\hookrightarrow GL(V)\times GL(V^)$ задаётся соответствием $\mathcal{C}\mapsto(\mathcal{C},(\mathcal{C}^{-1})^)$ ). Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на $V$ эквивалентны как линейные отображения из $V$ в $V^$ (где $V$ и $V^$ рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы. Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения. Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему. Пусть $f$ и $g$ — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве $V$ . Будем рассматривать их как линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}: V \to V^.$ Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы $GL(V)\times GL(V^)$ , т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы $\mathcal{C}\in GL(V)$ , $\mathcal{D}\in GL(V^)$ , что (1) $\quad\mathcal{B}=\mathcal{D}\mathcal{A}\mathcal{C}$ . Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака) (2) $\quad\mathcal{B}=\mathcal{C}^\mathcal{A}\mathcal{D}^$ . Из (1) и (2) следует, что (3) $\quad\mathcal{P}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{P}^$ , где $\mathcal{P}=\mathcal{D}^{-1}\mathcal{C}^\in GL(V^)$ и, значит, (4) $\quad\mathcal{Q}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{Q}^$ для любого оператора $\mathcal{Q}$ , являющегося многочленом от $\mathcal{P}$ . Подберём этот многочлен так, чтобы $\mathcal{Q}^2=\mathcal{P}$ . Тогда $\mathcal{D}\mathcal{Q}=\mathcal{C}^\mathcal{Q}^{-1}$ и $(\mathcal{D}\mathcal{Q})\mathcal{A}(\mathcal{D}\mathcal{Q})^=\mathcal{C}^\mathcal{Q}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{Q}^\mathcal{D}^=\mathcal{C}^\mathcal{A}\mathcal{D}^=\mathcal{B}.$ Тем самым доказано, что билинейные формы $f$ и $g$ эквивалентны. Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается Действие $GL(V)$ на $\underbrace{L^{\pm}(V,V^)\times\dots\times L^{\pm}(V,V^)}_k$ согласовано с действием $GL(V)\times GL(V^)$ на $\underbrace{L(V,V^)\times\dots\times L(V,V^)}_k.$ Задачи Действие $N$ на $D\times\dots\times D$ (одновременными сопряжениями) согласовано с действием $GL_n(\mathbb{K})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})\times\dots\times\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ . Пусть $\mathbb{L}\supset\mathbb{K}$ — произвольное расширение поля $\mathbb{K}$ . Тогда действие $GL_n(\mathbb{K})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})$ сопряжениями согласовано с действием $GL_n(\mathbb{L})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{L})$ (ср. задачу 2.2). Подмножество треугольных матриц не согласовано с действием $GL_n(\mathbb{C})$ на $\operatorname{Mat}_n(\mathbb{C})$ сопряжениями.