19 февраля 2014 г. | ||
Тема 17 Cогласованные действия Пусть группа G действует на множестве X, Y⊂X — некоторое подмножество, а H⊂G — подгруппа, сохраняющая Y. Определение 1. Действие H на Y называется согласованным с действием G на X, если y1∼Gy2⟹y1∼Hy2 для любых y1,y2∈Y (иначе говоря, Gy∩Y=Hy, ∀y∈Y). Определение 2. Нормализатор подмножества Y в группе G — это подгруппа N(Y)=NG(Y)⊂G, состоящая из всех таких g∈G, что gY=Y. Легко видеть, что если действие H на Y согласовано с действием G на X, то тем более согласовано действие N(Y) на Y. (N(Y) является в этой ситуации самой большой подгруппой в G, действие которой на Y согласовано с действием G на X.) Определение 3. Подмножество Y⊂X называется согласованным с действием G на X, если действие N(Y) на Y согласовано с действием G на X. Пример. Пусть G=GLn(K) действует на X=Matn(K) сопряжениями, D⊂X — пространство диагональных матриц, N⊂G — группа мономиальных матриц. Тогда действие N на D согласовано с действием G на X, причём N=N(D). Пример согласованного действия с H={e} даётся задачами 16.2—16.4. Ещё примеры согласованных и не согласованных подмножеств и действий — в задачах 17.1—17.3. Следующий пример представляет для нас особый интерес. Пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство, V∗ — его сопряжённое (дуальное) пространство. Всякое линейное отображение A:V→V∗ можно рассматривать как билинейную форму fA на V, определяемую по формуле fA(x,y)=(Ay)(x),∀x,y∈V. При этом матрица отображения A в двойственных друг другу базисах e и e∗ пространств V и V∗ совпадает с матрицей билинейной формы fA в базисе e. Сопряжённому отображению A∗:V≃V∗∗→V∗ отвечает билинейная форма fA∗(x,y)=fA(y,x). Обозначим через L+(V,V∗) (L−(V,V∗)) пространство самосопряжённых (антисамосопряжённых) линейных отображений из V в V∗, т.е. отображений, отвечающих симметрическим (кососимметрическим) билинейным формам. Теорема 1. Действие GL(V) на L±(V,V∗) согласовано с действием GL(V)×GL(V∗) на L(V,V∗) (вложение GL(V)↪GL(V)×GL(V∗) задаётся соответствием C↦(C,(C−1)∗)). Иными словами, если две симметрические или кососимметрические билинейные формы на V эквивалентны как линейные отображения из V в V∗ (где V и V∗ рассматриваются как независимые векторные пространства), то они эквивалентны и как билинейные формы. Приведём два доказательства теоремы 1. Первое из них совсем просто: класс эквивалентности симметрической или кососимметрической билинейной формы в комплексном векторном пространстве определяется её рангом, так же, как и класс эквивалентности линейного отображения. Второе доказательство сложнее, но зато позволяет явно найти преобразующий линейный оператор и, главное, доказать более общую теорему. Пусть f и g — две симметрические или кососимметрические билинейные формы в пространстве V. Будем рассматривать их как линейные отображения A,B:V→V∗. Предположим, что эти отображения эквивалентны относительно группы GL(V)×GL(V∗), т.е. существуют такие невырожденные линейные операторы C∈GL(V), D∈GL(V∗), что Переходя к сопряжённым отображениям, получаем (после возможной смены знака) (3)PA=AP∗, где P=D−1C∗∈GL(V∗) и, значит, (4)QA=AQ∗ для любого оператора Q, являющегося многочленом от P. Подберём этот многочлен так, чтобы Q2=P. Тогда DQ=C∗Q−1 и (DQ)A(DQ)∗=C∗Q−1AQ∗D∗=C∗AD∗=B. Тем самым доказано, что билинейные формы f и g эквивалентны. Приведённое доказательство дословно переносится на наборы из произвольного числа билинейных форм, каждая из которых симметрична или кососимметрична. Таким образом доказывается Теорема 2. Действие GL(V) на L±(V,V∗)×⋯×L±(V,V∗)⏟k согласовано с действием GL(V)×GL(V∗) на L(V,V∗)×⋯×L(V,V∗)⏟k. Задача 17.1. Действие N на D×⋯×D (одновременными сопряжениями) согласовано с действием GLn(K) на Matn(K)×⋯×Matn(K). Задача 17.2. Пусть L⊃K — произвольное расширение поля K. Тогда действие GLn(K) на Matn(K) сопряжениями согласовано с действием GLn(L) на Matn(L) (ср. задачу 2.2). Задача 17.3. Подмножество треугольных матриц не согласовано с действием GLn(C) на Matn(C) сопряжениями. |