Пусть $V,U$ — комплексные векторные пространства, $L(V,U)$ — пространство линейных отображений из $V$ в $U$. Напомним, что всякая пара линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ разлагается в прямую сумму жордановых и кронекеровых блоков, причём набор этих блоков определён однозначно.

Предложение. Если пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ образует кронекеров блок размера $n\times(n+1)$ или $(n+1)\times n$, то ранг любой нетривиальной линейной комбинации $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$ равен $n$.

Определение 1. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ называется регулярной, если $\dim V=\dim U$ и $\exists\alpha,\beta\in\mathbb{C}$, $\det(\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B})\ne0$, и сингулярной в противном случае.

Сингулярность пары означает наличие в её разложении кронекеровых блоков (задача 18.1).

Определение 2. Пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ называется чисто сингулярной, если $\operatorname{rk}(\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B})=\text{const}$ для всех нетривиальных линейных комбинаций $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$.

Чистая сингулярность означает отсутствие в разложении пары жордановых блоков (задача 18.2).

Для каждой пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ определим производную (по $\mathcal{B}$) пару следующим образом. Положим $$ \begin{align*} V' &= \mathcal{A}^{-1}(\operatorname{Im}\mathcal{B})/\operatorname{Ker}\mathcal{B}\cap\mathcal{A}^{-1}(\operatorname{Im}\mathcal{B}), \\ U' &= \operatorname{Im}\mathcal{B}/\mathcal{A}(\operatorname{Ker}\mathcal{B})\cap\operatorname{Im}\mathcal{B}, \end{align*} $$ и рассмотрим линейные отображения $\mathcal{A}',\mathcal{B}'\in L(V',U')$, индуцированные отображениями $\mathcal{A},\mathcal{B}$ (легко видеть, что $\mathcal{A}',\mathcal{B}'$ корректно определены). Производная по $\mathcal{A}$ пара может быть определена аналогично.

Заметим, что если $\mathcal{B}$ — изоморфизм, то производная пара совпадает с исходной. Ясно также, что производная прямой суммы пар линейных отображений равна прямой сумме производных пар.

Вычисление производных жордановых и кронекеровых блоков содержится в задачах 18.5—18.6.

Для всякой пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ можно рассмотреть сопряжённую пару $\mathcal{A}^*,\mathcal{B}^*\in L(U^*,V^*)$. Её разложение на блоки описывается в задаче 18.7.

Задача 18.1. Пара линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ регулярна тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму только жордановых блоков.

Задача 18.2. Пара линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ чисто сингулярна тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму только кронекеровых блоков. При этом $$\operatorname{rk}(\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B})=\dim V-(\text{число широких блоков})=\dim U-(\text{число высоких блоков})$$ для любой нетривиальной линейной комбинации $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$.

Задача 18.3. Пусть $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$, $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{C}$, $$ \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{vmatrix}\ne0. $$ Пара $(\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B},\gamma\mathcal{A}+\delta\mathcal{B})$ имеет такие же кронекеровы блоки, что и пара $(\mathcal{A},\mathcal{B})$, а её жордановы блоки имеют такие же размеры, но собственное значение $\lambda$ для каждого блока заменяется на $$\mu=\frac{\gamma+\delta\lambda}{\alpha+\beta\lambda}.$$

Задача 18.4. Пусть $\dim V=\dim U=n$, $V=\langle v_1,\dots,v_n\rangle$, $U=\langle u_1,\dots,u_n\rangle$. Определим линейные отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ по формулам $$ \mathcal{A}v_i=u_{i+1}\quad(i=1,\dots,n-1),\qquad\mathcal{A}v_n=0,\\ \mathcal{B}v_1=0,\qquad\mathcal{B}v_i=u_{i-1}\quad(i=2,\dots,n). $$ Разложить пару $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ в прямую сумму жордановых и кронекеровых блоков.

Задача 18.5. Пусть $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ образуют жорданов блок размера $n\times n$ c нулевым собственным значением. Если $n\ge3$, то $(\mathcal{A}',\mathcal{B}')$ — жорданов блок такого же типа размера $(n-2)\times(n-2)$. Если же $n=1$ или $2$, то $V'=U'=0$.

Задача 18.6. Пусть $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$ образуют кронекеров блок размера $n\times(n+1)$ или $(n+1)\times n$. Если $n\ge1$, то $(\mathcal{A}',\mathcal{B}')$ — кронекеров блок размера $(n-1)\times n$ или $n\times(n-1)$ соответственно. Если же $n=0$, то $V'=U'=0$.

Задача 18.7. Пусть $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V,U)$. Набор жордановых блоков пары $(\mathcal{A}^*,\mathcal{B}^*)$ такой же, как у пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$, а её кронекеровы блоки получаются из кронекеровых блоков пары $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ транспонированием. (При этом широкие блоки становятся высокими и наоборот.)