предыдущий семинар 4 декабря 2014 г. следующий семинар

Тема 13

Классификация пар линейных отображений

Рассмотрим задачу классификации пар линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:V_1\to V_2$ с точностью до линейных изоморфизмов комплексных векторных пространств $V_1,V_2$. Эквивалентные формулировки:

  • приведение пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}$ к каноническому виду в матричной записи за счёт выбора базисов в пространствах $V_1,V_2$;
  • классификация пар матриц $A,B$ размера $m\times n$ с точностью до одновременных элементарных преобразований строк и столбцов;
  • классификация представлений колчана Кронекера с точностью до изоморфизма.
По теореме Крулля-Ремака-Шмидта-Веддербарна, достаточно описать все неразложимые представления колчана Кронекера. Для их описания будем использовать функторы отражений.

Форма Титса колчана Кронекера имеет вид $$ (x,y)=2x_1y_1+2x_2y_2-2(x_1y_2+x_2y_1),\\ (x,x)=2(x_1-x_2)^2.\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; $$ Простые отражения действуют на решётке $\mathbb{Z}^2$ по формулам: $$ s_i(x)=x',\qquad\text{с координатами}\quad x'_i=2x_j-x_i,\quad x'_j=x_j\qquad (\{i,j\}=\{1,2\}). $$

Пусть $R=(V_1,V_2;\mathcal{A},\mathcal{B})$ — неразложимое представление колчана Кронекера с вектором размерностей $\dim R=(d_1,d_2)$ ($d_i=\dim V_i$), который удобно изображать графически: $$ \begin{array}{|c|} \hline d_1 \rightrightarrows d_2 \\ \hline \end{array}\ . $$ Если вектор $\dim R$ не лежит в ядре формы Титса, т.е. $d_1\ne d_2$, то возможны два случая: $d_1 > d_2$ и $d_1 < d_2$. Рассмотрим первый из них.

Будем применять к представлению $R$ поочерёдно функторы отражений $s_1^-,s_2^-,s_1^-,s_2^-,\dots$ При этом мы будем получать неразложимые представления того же типа, чьи векторы размерностей будут последовательно "уменьшаться": $$ \begin{array}{|c|} \hline d_1 \rightrightarrows d_2 \\ \hline \end{array} \;\overset{s_1^-}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|c|} \hline 2d_2-d_1 \leftleftarrows d_2 \\ \hline \end{array} \;\overset{s_2^-}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|c|} \hline 2d_2-d_1 \rightrightarrows 3d_2-2d_1 \\ \hline \end{array} \;\overset{s_1^-}\rightsquigarrow\; \cdots\ , $$ причём $d_1>d_2>2d_2-d_1>3d_2-2d_1>\dots$ В конечном итоге одна из координат вектора размерностей обратится в $0$, и мы придём к простейшему представлению с вектором размерностей $$ \begin{array}{|c|} \hline 1 \rightrightarrows 0 \\ \hline \end{array} \quad\text{или}\quad \begin{array}{|c|} \hline 0 \leftleftarrows 1 \\ \hline \end{array}\ , $$ которые отличаются друг от друга лишь нумерацией вершин. Исходное представление $R$ восстанавливается по этому простейшему применением функторов отражений $s^+_i$ в обратном порядке. Получается следующий результат.

Предложение 1. Неразложимое представление $R$ колчана Кронекера с $\dim V_1>\dim V_2$ имеет вектор размерностей $$ \begin{array}{|c|} \hline n+1 \rightrightarrows n \\ \hline \end{array} $$ и задаётся парой линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:V_1\to V_2$ с матрицами $$ A= \begin{pmatrix} 1 & & \mathrm{O} & 0 \\ & \ddots & & \vdots \\ \mathrm{O} & & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad B= \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \mathrm{O} \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \mathrm{O} & & 1 \\ \end{pmatrix}. $$ Такая пара линейных отображений (матриц) называется кронекеровым блоком.

Случай $d_1 < d_2$ можно было бы рассмотреть аналогично, применяя к представлению $R$ поочерёдно функторы отражений $s_2^+,s_1^+,s_2^+,s_1^+,\dots$ Но можно поступить проще, непосредственно сведя этот случай к уже рассмотренному.

Определение. Для каждого представления $R=(V,\mathcal{A})$ колчана $Q$ определено сопряжённое представление $R^*$ колчана $Q^*$, получаемого из $Q$ обращением всех стрелок. В вершине $i\in Q^*_0$ у представления $R^*$ живёт пространство $V_i^*$, а стрелке $\varphi^*\in Q^*_1$, обратной стрелке $\varphi\in Q_1$, отвечает отображение $\mathcal{A}_{\varphi}^*$.

Теорема 1. Операция сопряжения представлений колчанов имеет следующие свойства:

1) всякий гомоморфизм $\mathcal{F}:R\to S$ представлений колчана $Q$ естественным образом задаёт гомоморфизм $\mathcal{F}^*:S^*\to R^*$ так, что $$(\lambda\mathcal{F}+\mu\mathcal{G})^*=\lambda\cdot\mathcal{F}^*+\mu\cdot\mathcal{G}^*, \qquad (\mathcal{F}\cdot\mathcal{G})^*=\mathcal{G}^*\cdot\mathcal{F}^*, \qquad\mathcal{E}^*=\mathcal{E};$$

2) $(R^*)^*=R$, $(\mathcal{F}^*)^*=\mathcal{F}$;

3) $(R\oplus S)^*=R^*\oplus S^*$;

4) представление $R$ неразложимо тогда и только тогда, когда $R^*$ неразложимо.

Функтор сопряжения превращает неразложимое представление колчана Кронекера с $d_1 < d_2$ в неразложимое представление с $d_1 > d_2$. Поэтому из предложения 1 получается

Предложение 2. Неразложимое представление $R$ колчана Кронекера с $\dim V_1<\dim V_2$ имеет вектор размерностей $$ \begin{array}{|c|} \hline n \rightrightarrows n+1 \\ \hline \end{array} $$ и задаётся парой линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:V_1\to V_2$ с матрицами $$ A= \begin{pmatrix} 1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & 1 \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad B= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ 1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & 1 \\ \end{pmatrix}. $$ Такая пара линейных отображений (матриц) тоже называется кронекеровым блоком ("высоким", в отличие от "широкого" блока из предложения 1).

Остается рассмотреть случай, когда вектор размерностей лежит в ядре формы Титса. Такие представления называются регулярными.

Лемма. Пусть неразложимое представление $R$ регулярно. Тогда некоторая линейная комбинация $\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$ — обратимое линейное отображение.

Следствие. В предположениях леммы, $\mathcal{A}$ или $\mathcal{B}$ обратимо.

В самом деле, с помощью линейного изоморфизма $\mathcal{A}'=\alpha\mathcal{A}+\beta\mathcal{B}$ мы можем отождествить пространства $V_1$ и $V_2$ и считать, что все линейные операторы действуют в пространстве $V$, причём $\mathcal{A}'=\mathcal{E}$. Без ограничения общности, можно считать, что $\alpha\ne0$. Из неразложимости представления следует, что $\mathcal{B}$ задаётся жордановой клеткой. Тогда любая линейная комбинация отображений $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ задаётся матрицей вида $$ \begin{pmatrix} \lambda & \mu & & & \mathrm{O} \\ & \lambda & \mu & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & \lambda & \mu \\ & & & & \lambda \\ \end{pmatrix}, $$ среди которых ровно одна, с точностью до пропорциональности, необратима.

Заменяя в этом рассуждении $\mathcal{A}'$ на $\mathcal{A}$ или $\mathcal{B}$, получаем следующий результат.

Предложение 3. Неразложимое представление $R$ колчана Кронекера с $\dim V_1=\dim V_2=n$ задаётся парой линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:V_1\to V_2$ с матрицами $$ A= \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & \mathrm{O} & \\ & & \ddots & & \\ & \mathrm{O} & & 1 & \\ & & & & 1 \\ \end{pmatrix} \quad\text{и}\quad B= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & \mathrm{O} \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & \mathrm{O} & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \\ \end{pmatrix}, $$ или наоборот. Такая пара линейных отображений (матриц) называется жордановым блоком.

Замечание. Если оба отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}$ обратимы, то их матрицы можно записать в виде жорданова блока двумя способами: c $A=E$ или с $B=E$. Если $A=E$, а $B$ — жорданова клетка с собственным значением $\lambda\ne0$, то, домножив обе матрицы на $B^{-1}$ и приведя $AB^{-1}$ к жордановой нормальной форме, превратим $B$ в $E$, а $A$ — в жорданову клетку с собственным значением $\lambda^{-1}$. Поэтому регулярные представления с данным вектором размерностей $(n,n)$ параметризуются точками комплексной проективной прямой $\mathbb{CP}^1$. Эти точки естественно называть собственными значениями жордановых блоков: если $A=E$, то это собственное значение $\lambda$ жордановой клетки $B$, а если $B=E$ и $A$ — нильпотентная жорданова клетка, то собственное значение равно $\infty$.

Лемма доказывается индукцией по $n$.

Прежде всего, заметим, что $\operatorname{Ker}\mathcal{A}\cap\operatorname{Ker}\mathcal{B}=0$ (иначе можно разложить $R$ в прямую сумму: $V_1=(\operatorname{Ker}\mathcal{A}\cap\operatorname{Ker}\mathcal{B})\oplus V'$, $V_2=0\oplus V_2$). Возьмём вектор $v_1\notin\operatorname{Ker}\mathcal{A}$, $v_1\in\operatorname{Ker}\mathcal{B}$, и положим $v_2=\mathcal{A}v_1$. Прямые $\langle v_i\rangle\subset V_i$ задают подпредставление $R_0\subset R$.

Рассмотрим факторпредставление $R/R_0=(\bar{V}_1,\bar{V}_2;\bar{\mathcal{A}},\bar{\mathcal{B}})$, где $\bar{V}_1=V_i/\langle v_i\rangle$, а отображения $\bar{\mathcal{A}},\bar{\mathcal{B}}:\bar{V}_1\to\bar{V}_2$ индуцированы отображениями $\mathcal{A},\mathcal{B}:V_1\to V_2$. Разложим его в прямую сумму неразложимых представлений: $R/R_0=\bar{R}_1\oplus\dots\oplus\bar{R}_s$. В подходящих базисах матрицы операторов $\mathcal{A},\mathcal{B}$ имеют вид $$ A= \begin{pmatrix} 1 & * & \cdots & * \\ 0 & \bar{A}_1 & & \mathrm{O} \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \mathrm{O} & & \bar{A_s} \\ \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0 & * & \cdots & * \\ 0 & \bar{B}_1 & & \mathrm{O} \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & \mathrm{O} & & \bar{B_s} \\ \end{pmatrix}. $$

Если все представления $\bar{R}_i$ регулярны, то по предположению индукции достаточно общая линейная комбинация матриц $A,B$ невырождена.

В противном случае найдется представление $\bar{R}_i$, задаваемое "высоким" кронекеровым блоком. Вычитая из первой строки строки, проходящие через подматрицы $\bar{A}_i,\bar{B}_i$, и первый столбец из столбцов, проходящих через подматрицы $\bar{A}_i,\bar{B}_i$, с подходящими коэффициентами, можно обнулить в матрицах $A,B$ элементы первой строки над этими подматрицами. Это означает, что представление $\bar{R}_i$ поднимается в $R$ в качестве прямого слагаемого, что противоречит неразложимости. Стало быть, такая ситуация возникнуть не может.

В итоге получаем следующую теорему.

Теорема 2. Для любой пары линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:U\to W$ существуют разложения $U=U_1\oplus\dots\oplus U_s$, $W=W_1\oplus\dots\oplus W_s$, для которых $\mathcal{A}(U_i),\mathcal{B}(U_i)\subseteq W_i$ ($i=1,\dots,s$) и отображения $\mathcal{A},\mathcal{B}:U_i\to W_i$ образуют жордановы или кронекеровы блоки. При этом набор блоков определён однозначно, с точностью до перестановки.


Задачи

Задача 13.1. Доказать теорему 1.