Для классификации видов взаимного расположения четырёх подпространств достаточно, как и ранее, рассмотреть неразложимые четвёрки подпространств. Применим для решения этой задачи функторы отражений.

Обозначим размерности пространства $V$ и подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в неразложимой конфигурации через $d_0,d_1,d_2,d_3,d_4$, соответственно. Без ограничения общности, мы можем считать все $d_i$ положительными (в противном случае мы по существу имеем дело с конфигурацией трёх подпространств, которые мы знаем). Будем изображать соответствующий вектор размерностей графически: $$ \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} $$ (стрелки будем иногда опускать).

Наша задача в том, чтобы, применяя функторы отражений, попытаться "уменьшить" вектор размерностей неразложимой конфигурации 4-х подпространств так, чтобы в итоге прийти к неразложимой конфигурации простого вида, которую будет легко описать. Попробуем применить функтор $s_0^+$: $$ \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{s_0^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \uparrow & & \\ d_1 & \leftarrow & \smash{\sum_{i=1}^4d_i}-d_0 & \rightarrow & d_3 \\ & & \downarrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array}\ . $$ Вектор размерностей, а именно, размерность в центральной вершине колчана уменьшится при условии $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. (Отметим, что эта размерность не может обратиться в $0$, так как иначе представление колчана окажется разложимым.) При этом колчан превратится в двойственный, и чтобы вернуться к исходному колчану, надо применить функторы отражений $s_1^+,s_2^+,s_3^+,s_4^+$. В итоге: $$ \begin{array}{|cccсс|} \hline & & & & \\ & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,4}d_i}-d_0 & & \\ & & \downarrow & & \\ \smash{\sum_{i\ne0,1}d_i}-d_0 & \rightarrow & \smash{\sum_{i\ne0}d_i}-d_0 & \leftarrow & \smash{\sum_{i\ne0,3}d_i}-d_0 \\ & & \uparrow & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,2}d_i}-d_0 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array}\ , $$ причём новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. Продолжая в том же духе, придём к неразложимой конфигурации, в которой одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к конфигурации трёх подпространств.

Аналогично, применяя к неразложимой конфигурации 4-х подпространств с вектором размерностей, удовлетворяющим условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$, сперва функторы отражений $s_1^-,s_2^-,s_3^-,s_4^-$, а затем $s_0^-$, т.е. функтор Кокстера $c^-$, получим: $$ \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^-}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_0-d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_0-d_1 & \rightarrow & \quad 3d_0-\smash{\sum_{i\ne0}d_i} & \quad \leftarrow & d_0-d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_0-d_2 & & \\ \hline \end{array}\ . $$ Новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$. Повторяя процесс нужное количество раз, приходим к неразложимому представлению, у которого одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к представлению колчана трёх подпространств. Отдельно надо рассмотреть случай вектора размерностей $$ \begin{array}{|ccc|} \hline & 1 & \\ 1 & 1 & 1 \\ & 1 & \\ \hline \end{array}\ , $$ который функтором $c^-$ переводится в $0$. Очевидно, что существует единственная неразложимая конфигурация подпространств $U_1=U_2=U_3=U_4=V$ с таким вектором размерностей. В итоге получаем следующую теорему.

Теорема 1. Неразложимые конфигурации четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4\subseteq V$ с условием $\sum\dim U_i \ne 2\dim V$ однозначно определяются своими векторами размерностей, которые могут иметь следующие значения: $$ \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \\[25pt] \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+2 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n+1 & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , $$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана.

Для конфигураций, векторы размерностей которых удовлетворяют условию $\sum_{i=1}^4d_i=2d_0$ (регулярные конфигурации), этот метод не работает. Тем не менее, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Векторы размерностей неразложимых конфигураций четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в комплексном векторном пространстве $V$ с условием $\sum\dim U_i = 2\dim V$ могут быть следующих видов: $$ \begin{array}{|ccc|} \hline & n+1 & \\ n & 2n+1 & n \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , $$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана. Для каждого из векторов размерностей первого вида существует единственная неразложимая конфигурация подпространств. Неразложимые конфигурации подпространств с вектором размерностей второго вида зависят от одного комплексного параметра.

Сделаем некоторые комментарии к теореме 2. Можно так пронумеровать подпространства $U_i$, что $U_1\oplus U_2=V$ и $U_3$, $U_4$ пересекаются с $U_1$ по $0$. Тогда для вектора размерностей второго типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:U_1\to U_2$, и описание неразложимых конфигураций сводится к описанию регулярных неразложимых представлений колчана Кронекера. Для вектора размерностей первого типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A}:U_1\to U_2$ и $\mathcal{B}:U_2\to U_1$. Возникают неразложимые представления колчана $$ \begin{array}{|c|} \hline n \leftrightarrows n+1 \\ \hline \end{array} $$ (на местах вершин указаны координаты вектора размерностей), которые описываются аналогично нерегулярным неразложимым представлениям колчана Кронекера.

предыдущий семинар	11 декабря 2014 г.	следующий семинар
Тема 14 Взаимное расположение четырёх подпространств Для классификации видов взаимного расположения четырёх подпространств достаточно, как и ранее, рассмотреть неразложимые четвёрки подпространств. Применим для решения этой задачи функторы отражений. Обозначим размерности пространства $V$ и подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в неразложимой конфигурации через $d_0,d_1,d_2,d_3,d_4$, соответственно. Без ограничения общности, мы можем считать все $d_i$ положительными (в противном случае мы по существу имеем дело с конфигурацией трёх подпространств, которые мы знаем). Будем изображать соответствующий вектор размерностей графически: $$ \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} $$ (стрелки будем иногда опускать). Наша задача в том, чтобы, применяя функторы отражений, попытаться "уменьшить" вектор размерностей неразложимой конфигурации 4-х подпространств так, чтобы в итоге прийти к неразложимой конфигурации простого вида, которую будет легко описать. Попробуем применить функтор $s_0^+$: $$ \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{s_0^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & d_4 & & \\ & & \uparrow & & \\ d_1 & \leftarrow & \smash{\sum_{i=1}^4d_i}-d_0 & \rightarrow & d_3 \\ & & \downarrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array}\ . $$ Вектор размерностей, а именно, размерность в центральной вершине колчана уменьшится при условии $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. (Отметим, что эта размерность не может обратиться в $0$, так как иначе представление колчана окажется разложимым.) При этом колчан превратится в двойственный, и чтобы вернуться к исходному колчану, надо применить функторы отражений $s_1^+,s_2^+,s_3^+,s_4^+$. В итоге: $$ \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & & & \\ & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,4}d_i}-d_0 & & \\ & & \downarrow & & \\ \smash{\sum_{i\ne0,1}d_i}-d_0 & \rightarrow & \smash{\sum_{i\ne0}d_i}-d_0 & \leftarrow & \smash{\sum_{i\ne0,3}d_i}-d_0 \\ & & \uparrow & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,2}d_i}-d_0 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array}\ , $$ причём новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. Продолжая в том же духе, придём к неразложимой конфигурации, в которой одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к конфигурации трёх подпространств. Аналогично, применяя к неразложимой конфигурации 4-х подпространств с вектором размерностей, удовлетворяющим условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$, сперва функторы отражений $s_1^-,s_2^-,s_3^-,s_4^-$, а затем $s_0^-$, т.е. функтор Кокстера $c^-$, получим: $$ \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^-}\rightsquigarrow\; \begin{array}{\|cccсс\|} \hline & & d_0-d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_0-d_1 & \rightarrow & \quad 3d_0-\smash{\sum_{i\ne0}d_i} & \quad \leftarrow & d_0-d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_0-d_2 & & \\ \hline \end{array}\ . $$ Новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$. Повторяя процесс нужное количество раз, приходим к неразложимому представлению, у которого одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к представлению колчана трёх подпространств. Отдельно надо рассмотреть случай вектора размерностей $$ \begin{array}{\|ccc\|} \hline & 1 & \\ 1 & 1 & 1 \\ & 1 & \\ \hline \end{array}\ , $$ который функтором $c^-$ переводится в $0$. Очевидно, что существует единственная неразложимая конфигурация подпространств $U_1=U_2=U_3=U_4=V$ с таким вектором размерностей. В итоге получаем следующую теорему. Теорема 1. Неразложимые конфигурации четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4\subseteq V$ с условием $\sum\dim U_i \ne 2\dim V$ однозначно определяются своими векторами размерностей, которые могут иметь следующие значения: $$ \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n+1 & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \\[25pt] \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+2 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n+1 & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , $$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана. Для конфигураций, векторы размерностей которых удовлетворяют условию $\sum_{i=1}^4d_i=2d_0$ (регулярные конфигурации), этот метод не работает. Тем не менее, имеет место следующая теорема. Теорема 2. Векторы размерностей неразложимых конфигураций четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в комплексном векторном пространстве $V$ с условием $\sum\dim U_i = 2\dim V$ могут быть следующих видов: $$ \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n+1 & \\ n & 2n+1 & n \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{\|ccc\|} \hline & n & \\ n & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , $$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана. Для каждого из векторов размерностей первого вида существует единственная неразложимая конфигурация подпространств. Неразложимые конфигурации подпространств с вектором размерностей второго вида зависят от одного комплексного параметра. Сделаем некоторые комментарии к теореме 2. Можно так пронумеровать подпространства $U_i$, что $U_1\oplus U_2=V$ и $U_3$, $U_4$ пересекаются с $U_1$ по $0$. Тогда для вектора размерностей второго типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:U_1\to U_2$, и описание неразложимых конфигураций сводится к описанию регулярных неразложимых представлений колчана Кронекера. Для вектора размерностей первого типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A}:U_1\to U_2$ и $\mathcal{B}:U_2\to U_1$. Возникают неразложимые представления колчана $$ \begin{array}{\|c\|} \hline n \leftrightarrows n+1 \\ \hline \end{array} $$ (на местах вершин указаны координаты вектора размерностей), которые описываются аналогично нерегулярным неразложимым представлениям колчана Кронекера. Задачи Задача 14.1. а) Доказать теорему 1. б) Описать явно соответствующие неразложимые конфигурации 4-х подпространств. Задача 14.2.* а) Доказать теорему 2. б) Описать явно соответствующие неразложимые конфигурации 4-х подпространств.