Для классификации видов взаимного расположения четырёх подпространств достаточно, как и ранее, рассмотреть неразложимые четвёрки подпространств. Применим для решения этой задачи функторы отражений.

Обозначим размерности пространства $V$ и подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в неразложимой конфигурации через $d_0,d_1,d_2,d_3,d_4$, соответственно. Без ограничения общности, мы можем считать все $d_i$ положительными (в противном случае мы по существу имеем дело с конфигурацией трёх подпространств, которые мы знаем). Будем изображать соответствующий вектор размерностей графически: $$\begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array}$$ (стрелки будем иногда опускать).

Наша задача в том, чтобы, применяя функторы отражений, попытаться "уменьшить" вектор размерностей неразложимой конфигурации 4-х подпространств так, чтобы в итоге прийти к неразложимой конфигурации простого вида, которую будет легко описать. Попробуем применить функтор $s_0^+$: $$\begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{s_0^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \uparrow & & \\ d_1 & \leftarrow & \smash{\sum_{i=1}^4d_i}-d_0 & \rightarrow & d_3 \\ & & \downarrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array}\ .$$ Вектор размерностей, а именно, размерность в центральной вершине колчана уменьшится при условии $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. (Отметим, что эта размерность не может обратиться в $0$, так как иначе представление колчана окажется разложимым.) При этом колчан превратится в двойственный, и чтобы вернуться к исходному колчану, надо применить функторы отражений $s_1^+,s_2^+,s_3^+,s_4^+$. В итоге: $$\begin{array}{|cccсс|} \hline & & & & \\ & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^+}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,4}d_i}-d_0 & & \\ & & \downarrow & & \\ \smash{\sum_{i\ne0,1}d_i}-d_0 & \rightarrow & \smash{\sum_{i\ne0}d_i}-d_0 & \leftarrow & \smash{\sum_{i\ne0,3}d_i}-d_0 \\ & & \uparrow & & \\ & & \smash{\sum_{i\ne0,2}d_i}-d_0 & & \\ & & & & \\ \hline \end{array}\ ,$$ причём новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i<2d_0$. Продолжая в том же духе, придём к неразложимой конфигурации, в которой одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к конфигурации трёх подпространств.

Аналогично, применяя к неразложимой конфигурации 4-х подпространств с вектором размерностей, удовлетворяющим условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$, сперва функторы отражений $s_1^-,s_2^-,s_3^-,s_4^-$, а затем $s_0^-$, т.е. функтор Кокстера $c^-$, получим: $$\begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_1 & \rightarrow & d_0 & \leftarrow & d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_2 & & \\ \hline \end{array} \;\overset{с^-}\rightsquigarrow\; \begin{array}{|cccсс|} \hline & & d_0-d_4 & & \\ & & \downarrow & & \\ d_0-d_1 & \rightarrow & \quad 3d_0-\smash{\sum_{i\ne0}d_i} & \quad \leftarrow & d_0-d_3 \\ & & \uparrow & & \\ & & d_0-d_2 & & \\ \hline \end{array}\ .$$ Новый вектор размерностей удовлетворяет тому же условию $\sum_{i=1}^4d_i>2d_0$. Повторяя процесс нужное количество раз, приходим к неразложимому представлению, у которого одна из координат вектора размерностей равна $0$, т.е. по сути к представлению колчана трёх подпространств. Отдельно надо рассмотреть случай вектора размерностей $$\begin{array}{|ccc|} \hline & 1 & \\ 1 & 1 & 1 \\ & 1 & \\ \hline \end{array}\ ,$$ который функтором $c^-$ переводится в $0$. Очевидно, что существует единственная неразложимая конфигурация подпространств $U_1=U_2=U_3=U_4=V$ с таким вектором размерностей. В итоге получаем следующую теорему.

Теорема 1. Неразложимые конфигурации четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4\subseteq V$ с условием $\sum\dim U_i \ne 2\dim V$ однозначно определяются своими векторами размерностей, которые могут иметь следующие значения: $$\begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ , \\[25pt] \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n+1 & 2n+2 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n+1 & \\ n+1 & 2n+1 & n+1 \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ ,$$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана.

Для конфигураций, векторы размерностей которых удовлетворяют условию $\sum_{i=1}^4d_i=2d_0$ (регулярные конфигурации), этот метод не работает. Тем не менее, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Векторы размерностей неразложимых конфигураций четвёрок подпространств $U_1,U_2,U_3,U_4$ в комплексном векторном пространстве $V$ с условием $\sum\dim U_i = 2\dim V$ могут быть следующих видов: $$\begin{array}{|ccc|} \hline & n+1 & \\ n & 2n+1 & n \\ & n+1 & \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & n & \\ n & 2n & n \\ & n & \\ \hline \end{array}\ ,$$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана. Для каждого из векторов размерностей первого вида существует единственная неразложимая конфигурация подпространств. Неразложимые конфигурации подпространств с вектором размерностей второго вида зависят от одного комплексного параметра.

Сделаем некоторые комментарии к теореме 2. Можно так пронумеровать подпространства $U_i$, что $U_1\oplus U_2=V$ и $U_3$, $U_4$ пересекаются с $U_1$ по $0$. Тогда для вектора размерностей второго типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A},\mathcal{B}:U_1\to U_2$, и описание неразложимых конфигураций сводится к описанию регулярных неразложимых представлений колчана Кронекера. Для вектора размерностей первого типа подпространства $U_3$, $U_4$ можно интерпретировать как графики линейных отображений $\mathcal{A}:U_1\to U_2$ и $\mathcal{B}:U_2\to U_1$. Возникают неразложимые представления колчана $$\begin{array}{|c|} \hline n \leftrightarrows n+1 \\ \hline \end{array}$$ (на местах вершин указаны координаты вектора размерностей), которые описываются аналогично нерегулярным неразложимым представлениям колчана Кронекера.

Задача 14.1. а) Доказать теорему 1.

б) Описать явно соответствующие неразложимые конфигурации 4-х подпространств.

Задача 14.2.* а) Доказать теорему 2.

б) Описать явно соответствующие неразложимые конфигурации 4-х подпространств.