предыдущий семинар 20 ноября 2014 г. следующий семинар

Тема 11

Взаимное расположение трёх подпространств. Функторы отражений.

Для классификации всевозможных видов взаимного расположения трёх подпространств $U_1,U_2,U_3\subseteq V$ достаточно, по теореме Крулля-Ремака-Шмидта-Веддербарна, перечислить все неразложимые конфигурации. Если исключить неприводимые представления $S(i)$ колчана трёх подпространств ($i=0,1,2,3$), то по задаче 10.6 можно считать, что $U_1+U_2+U_3=V$. Кроме того, можно считать, что $U_1,U_2,U_3\ne0$, поскольку, если хотя бы одно из подпространств — нулевое, то конфигурация сводится к конфигурации меньшего числа подпространств, классификация которых нам уже известна. Это соображение можно использовать и для представлений произвольных колчанов.

Замечание. Всякое представление $R$ колчана $Q$ продолжается до представления $R'$ колчана $Q'\supset Q$ (получаемого из $Q$ добавлением новых вершин и стрелок) путём добавления нулевых пространств и отображений. При этом представление $R$ неразложимо (неприводимо) тогда и только тогда, когда $R'$ неразложимо (неприводимо).

Возвращаясь к неразложимым конфигурациям трёх подпространств, заметим во-первых, что $U_i+U_j=V$ для любой пары индексов $i\ne j$. Действительно, в противном случае мы можем выбрать прямое дополнение $U_k'\ne0$ в подпространстве $U_k$ к $(U_i+U_j)\cap U_k$, $k\ne i,j$, и разложить конфигурацию в прямую сумму: $$V=(U_i+U_j)\oplus U_k', \qquad U_i,U_j\subseteq U_i+U_j, \qquad U_k=(U_i+U_j)\cap U_k\oplus U_k'.$$

Во-вторых, либо $U_1\cap U_2\cap U_3=0$, либо $U_1=U_2=U_3=V$, $\dim V=1$. В самом деле, выберем прямое дополнение $V'$ к $U_1\cap U_2\cap U_3$ в пространстве $V$. Тогда $U_i=(U_1\cap U_2\cap U_3)\oplus U_i'$, где $U_i'\subseteq V'$ ($i=1,2,3$), причём $U'_1\cap U'_2\cap U'_3=0$. Это даёт разложение нашей конфигурации в прямую сумму двух конфигураций, одна из которых обязана быть нулевой. Значит, либо все подпространства $U_i$ пересекаются тривиально, либо они равны друг другу (а значит, и пространству $V$) и одномерны (что опять следует из неразложимости).

Предположим, что $U_1\cap U_2\cap U_3=0$. Тогда можно утверждать, что $U_i\cap U_j=0$ для всех пар $i\ne j$. В противном случае мы могли бы выбрать в пространстве $V$ прямое дополнение $V'$ к $U_i\cap U_j$, содержащее $U_k$. Тогда $U_i=(U_i\cap U_j)\oplus U_i'$, $U_j=(U_i\cap U_j)\oplus U_j'$, где $U_i',U_j'\subseteq V'$, и получается нетривиальное разложение нашей конфигурации в прямую сумму — противоречие.

Таким образом, для любой пары индексов $i\ne j$ имеем $V=U_i\oplus U_j$, а значит, $\dim U_1=\dim U_2=\dim U_3=(\dim V)/2$. Подпространство $U_3$ изоморфно проектируется на каждое слагаемое прямого разложения $V=U_1\oplus U_2$, и поэтому его можно рассматривать как график линейного изоморфизма $U_1\overset\sim\longrightarrow U_2$. По сути мы свели задачу к рассмотрению представления простейшего линейного колчана. Выбирая в пространствах $U_1,U_2$ базисы, соответствующие друг другу при этом изоморфизме, мы сможем разложить его в прямую сумму изоморфизмов одномерных пространств. Из неразложимости следует, что $\dim U_1=\dim U_2=\dim U_3=1$, $\dim V=2$, то есть наша конфигурация состоит из трёх различных прямых в плоскости и может быть приведена к стандартному виду: $$U_1=\langle e_1\rangle, \qquad U_2=\langle e_2\rangle, \qquad U_3=\langle e_1+e_2\rangle, \qquad V=\langle e_1,e_2\rangle.$$

В итоге получаем следующую теорему.

Теорема 1. Неразложимые конфигурации троек подпространств $U_1,U_2,U_3\subseteq V$ однозначно определяются своими векторами размерностей $(\dim V,\dim U_1,\dim U_2,\dim U_3)$, которые могут иметь следующие значения: $$ \begin{array}{|ccc|} \hline & & 0 \\ 0 & 1 & \\ & & 0 \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & & 0 \\ 1 & 1 & \\ & & 0 \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & & 1 \\ 1 & 1 & \\ & & 0 \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & & 1 \\ 1 & 1 & \\ & & 1 \\ \hline \end{array}\ , \qquad \begin{array}{|ccc|} \hline & & 1 \\ 1 & 2 & \\ & & 1 \\ \hline \end{array}\ , $$ с точностью до перестановки крайних вершин колчана. То же справедливо для произвольных неразложимых представлений колчана трёх подпространств, если добавить векторы размерностей вида $$ \begin{array}{|ccc|} \hline & & 0 \\ 1 & 0 & \\ & & 0 \\ \hline \end{array}\ . $$

С конфигурациями чётырех и более подпространств ситуация сложнее. Там возникает новый феномен — дискретных инвариантов типа размерностей, вообще говоря, недостаточно для задания произвольной конфигурации, имеются непрерывные инварианты. Для дальнейшего продвижения в задаче описания взаимного расположения подпространств требуются более глубокие методы теории колчанов. Один такой общий метод мы сейчас рассмотрим.

Функторы отражений

Пусть $Q$ — произвольный колчан с числом вершин $N=|Q_0|$. Рассмотрим решётку $\mathbb{Z}^N$, в которой лежат векторы размерностей представлений колчана $Q$. Её стандартный базис обозначим через $\alpha_1,\dots,\alpha_N$, где $\alpha_i=\dim S(i)$.

Определение 1. Форма Титса колчана $Q$ — это симметрическая билинейная форма на решётке $\mathbb{Z}^N$, определяемая формулой $$ (x,y)_Q=\sum_{i\in Q_0}2x_iy_i-\sum_{\substack{\varphi\in Q_1\\ i\overset\varphi\longrightarrow j}}(x_iy_j+x_jy_i) $$ (индекс $Q$ будем обычно опускать, если колчан фиксирован).

Значения формы Титса на парах базисных векторов вычисляются по формулам $$ (\alpha_i,\alpha_i)=2-2(\text{число петель при вершине $i$}),\\ (\alpha_i,\alpha_j)=-(\text{число рёбер, соединяющих $i$ и $j$}). $$

Предположим, что при вершине $i\in Q_0$ нет петель.

Определение 2. Простое отражение $s_i$ — это ортогональное (относительно формы Титса) отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной вектору $\alpha_i$. Оно вычисляется по формуле $$ s_i(x)=x-(x,\alpha_i)\alpha_i. $$ Простые отражения умеют действовать на колчанах: под действием отражения $s_i$ колчан $Q$ переходит в колчан $s_iQ$, отличающийся от $Q$ тем, что направления всех стрелок при вершине $i$ меняются на противоположные.

В случаях, когда все стрелки при вершине $i$ ведут в неё (т.е. $i$ является стоком) или все стрелки исходят из неё (т.е. $i$ является источником), определено действие простого отражения на представлениях колчана.

Пусть $i\in Q_0$ — сток. Функтор отражения $s_i^+$ переводит представление $R=(V,\mathcal{A})$ колчана $Q$ в представление $s_i^+R$ колчана $s_iQ$, отличающееся от $R$ только в вершине $i$. А именно, у представления $s_i^+R$ в вершине $i$ живёт пространство $V_i'=\operatorname{Ker}\mathcal{A}_i$, где $$\mathcal{A}_i:\bigoplus_{j\overset\varphi\longrightarrow i}V_j\to V_i$$ — линейное отображение, ограничение которого на каждое слагаемое $V_j$ равно $\mathcal{A}_{\varphi}$. Отображения $\mathcal{A}_{\varphi'}:V_i'\to V_j$ в представлении $s_i^+R$, где $\varphi'$ — стрелка, обратная к $\varphi$, суть проекции на прямые слагаемые: $$ V_i' \longrightarrow \bigoplus_{j\overset\varphi\longrightarrow i}V_j \longrightarrow V_i \\ \downarrow \\ V_j $$

Аналогично, если $i\in Q_0$ — источник, то определяется функтор отражения $s_i^-$, переводящий представление $R$ колчана $Q$ в представление $s_i^-R$ колчана $s_iQ$, отличающееся от $R$ только в вершине $i$. Представление $s_i^-R$ определяется так. В вершине $i$ живёт пространство $V_i'=\operatorname{Coker}\mathcal{B}_i$, где $$\mathcal{B}_i:V_i\to\bigoplus_{i\overset\psi\longrightarrow j}V_j$$ — линейное отображение, компонентами которого являются отображения $\mathcal{A}_{\psi}:V_i\to V_j$. (Напомним, что коядро линейного отображения — это факторпространство по его образу.) Отображения $\mathcal{A}_{\psi'}:V_j\to V'_i$ в представлении $s_i^-R$, суть ограничения на $V_j$ факторизации по $\operatorname{Im}\mathcal{B}_i$: $$ V_i \longrightarrow \bigoplus_{i\overset\psi\longrightarrow j}V_j \longrightarrow V_i' \\ \uparrow \\ V_j $$

Теорема 2. Функторы отражений обладают следующими свойствами:

1) всякий гомоморфизм $\mathcal{F}:R\to S$ представлений колчана $Q$ естественным образом задаёт гомоморфизм $s_i^{\pm}\mathcal{F}:s_i^{\pm}R\to s_i^{\pm}S$ (в зависимости от того, какой из функторов $s_i^+$ и $s_i^-$ применим в вершине $i$) так, что $$s_i^{\pm}(\lambda\mathcal{F}+\mu\mathcal{G})=\lambda\cdot s_i^{\pm}\mathcal{F}+\mu\cdot s_i^{\pm}\mathcal{G}, \qquad s_i^{\pm}(\mathcal{F}\cdot\mathcal{G})=s_i^{\pm}\mathcal{F}\cdot s_i^{\pm}\mathcal{G}, \qquad s_i^{\pm}(\mathcal{E})=\mathcal{E}$$ (где $\mathcal{E}$ — тождественный автоморфизм), и, в частности, если $\mathcal{F}$ — изоморфизм, то и $s_i^{\pm}\mathcal{F}$ — тоже, а $s_i^{\pm}(0)=0$ — нулевой гомоморфизм;

2) $s_i^{\pm}(R\oplus S)=s_i^{\pm}R\oplus s_i^{\pm}S$ для любых представлений $R,S$ колчана $Q$;

3) $s_i^{\pm}S(i)=0$;

4) функторы $s_i^+$ и $s_i^-$ осуществляют взаимно обратные биекции между неразложимыми представлениями колчанов $Q$ и $s_iQ$, кроме представлений $S(i)$;

5) если представление $R$ неразложимо и $R\ne S(i)$, то $\dim(s_i^{\pm}R)=s_i(\dim R)$.

Идея применения функторов отражений к описанию неразложимых представлений колчана состоит в том, чтобы, действуя этими функторами, последовательно "уменьшать" вектор размерности представления и в итоге прийти к более "простому" неразложимому представлению (скажем, к $S(j)$), из которого исходное представление можно получить, действуя обратными функторами. Как мы увидим, этот приём работает не всегда, но какую-то часть неразложимых представлений так описать удаётся.


Задачи

Задача 11.1. Какого наименьшего количества инвариантов из списка $$\dim V, \quad \dim U_i, \quad \dim(U_i\cap U_j), \quad \dim(U_1\cap U_2\cap U_3), \quad \dim(U_i+U_j), \quad \dim(U_1+U_2+U_3), \\ \dim((U_i\cap U_j)+U_k), \quad \dim((U_i+U_j)\cap U_k)$$ и каких именно инвариантов достаточно для задания конфигурации трёх подпространств $U_1,U_2,U_3\subseteq V$.

Задача 11.2. Доказать теорему 2.

Задача 11.3. а) Можно так пронумеровать множество вершин колчана $Q_0=\{1,\dots,N\}$, что на его представлениях будут определены функторы Кокстера $c^+=s_N^+\cdots s_1^+$ и $c^-=s_1^-\cdots s_N^-$.

б) Функторы $c^{\pm}$ не зависят от выбора нумерации вершин.