Рассмотрим задачу описания всевозможных видов взаимного расположения нескольких подпространств в векторном пространстве. Для того, чтобы её точно поставить, нужно вначале ответить на следующий вопрос: для каких конфигураций подпространств расположение подпространств в них следует считать одинаковым.

Определение 1. Два набора подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$ и $U'_1,\dots,U'_s\subseteq V'$ называются эквивалентными, если существует изоморфизм (т.е. биективное линейное отображение) пространства $V$ на пространство $V'$, при котором подпространства $U_i$ переходят в $U_i'$ ($i=1,\dots,s$).

С помощью этого изоморфизма мы можем отождествить пространства $V$ и $V'$ и рассматривать конфигурации подпространств в фиксированном векторном пространстве $V$. Тогда классы эквивалентных конфигураций — это то же, что орбиты естественного действия группы $GL(V)$ на наборах подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$. Действие группы $GL(V)$ сводится к заменам базиса в пространстве $V$, и классификация его орбит равносильна приведению конфигураций подпространств к каноническому виду за счёт выбора базиса в $V$.

Решение этой задачи хорошо известно в простейших случаях из курса линейной алгебры. При $s=1$ выбор базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$, согласованного с подпространством $U$ так, что $$V=\langle e_1,\dots,e_n\rangle, \qquad U=\langle e_1,\dots,e_m\rangle\qquad(m\le n),$$ показывает, что инвариантами, однозначно определяющими расположение одного подпространства в векторном пространстве, являются размерности $\dim V$, $\dim U$.

При $s=2$ можно выбрать базис, согласованный с двумя подпространствами так, что $$V=\langle e_1,\dots,e_n\rangle, \qquad U_1=\langle e_1,\dots,e_k\rangle, \qquad U_2=\langle e_1,\dots,e_m,e_{k+1},\dots,e_{k+l-m}\rangle$$ (тогда автоматически $U_1\cap U_2=\langle e_1,\dots,e_m\rangle$, $U_1+U_2=\langle e_1,\dots,e_{k+l-m}\rangle$). Поэтому взаимное расположение двух подпространств определяется инвариантами $$\dim V,\quad\dim U_1,\quad\dim U_2,\quad\dim(U_1\cap U_2),\quad\dim(U_1+U_2),$$ которые связаны известным соотношением $$\dim U_1+\dim U_2=\dim(U_1\cap U_2)+\dim(U_1+U_2).$$

Для конфигураций трёх и более подпространств задача характеризации их взаимного расположения уже не столь тривиальна. Чтобы с ней разобраться, удобно встать на более общую точку зрения. Вместо подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$ можно рассматривать инъективные линейные отображения $\mathcal{A}_i:V_i\to V$ ($i=1,\dots,s$), образами которых являются подпространства $U_i$, и классифицировать наборы $(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_s)$ с точностью до изоморфных замен векторных пространств $V_1,\dots,V_s$ и $V$, а если считать эти пространства фиксированными, — с точностью до действия группы $GL(V_1)\times\dots\times GL(V_s)\times GL(V)$, при котором $\mathcal{A}_i$ переходит в $\mathcal{G}\mathcal{A}_i\mathcal{G}_i^{-1}$, где $\mathcal{G}\in GL(V)$, $\mathcal{G}_i\in GL(V_i)$.

Можно не ограничиваться инъективными отображениями и рассматривать более общие схемы из векторных пространств и отображений между ними. Такие схемы называются колчанами, а соответствующие наборы векторных пространств и линейных отображений — представлениями колчанов.

Определение 2. Колчан — это конечный ориентированный граф $Q$. Допускается любое количество стрелок (ориентированных рёбер), соединяющих две данные вершины, причём в обоих направлениях, а также петли (стрелки с началом и концом в одной и той же вершине). Обозначим через $Q_0$ множество вершин колчана, а через $Q_1$ — множество его рёбер.

Примеры колчанов:

колчан Жордана состоит из одной вершины и одной петли при ней;
$s$-колчан Кронекера (при $s=1$ — простейший линейный колчан, при $s=2$ — просто колчан Кронекера) состоит из двух вершин $1,2$ и $s$ стрелок, ведущих из $1$ в $2$;
колчан подпространств состоит из вершин $0,1,\dots,s$ и $s$ стрелок, ведущих из вершин $1,\dots,s$ в вершину $0$.

Определение 3. Представление колчана $Q$ — это пара $R=(V,\mathcal{A})$, где $V$ — набор (конечномерных) векторных пространств $V_i$, $i\in Q_0$, а $\mathcal{A}$ — набор линейных отображений $\mathcal{A}_{\varphi}:V_i\to V_j$ по всем стрелкам $\varphi\in Q_1$, где $i$ — начальная вершина (хвост), а $j$ — конечная вершина (голова) стрелки $\varphi$.

Для представлений колчанов можно определить все основные понятия теории представлений:

подпредставление представления $R$ — это такое представление $S=(U,\mathbf{\mathcal{B}})$, что $U_i\subseteq V_i$ — подпространства ($\forall i\in Q_0$), а отображения $\mathcal{B}_{\varphi}$ суть ограничения на них отображений $\mathcal{A}_{\varphi}$ ($\forall\varphi\in Q_1$);

факторподпредставление $R/S$ состоит из набора факторпространств $V_i/U_i$ ($i\in Q_0$) и их отображений $\mathcal{C}_{\varphi}$, индуцированных отображениями $\mathcal{A}_{\varphi}$ ($\varphi\in Q_1$);

прямая сумма $R\oplus S$ представлений $R=(V,\mathcal{A})$ и $S=(U,\mathbf{\mathcal{B}})$ состоит из пространств $V_i\oplus U_i$ ($i\in Q_0$) и отображений $\mathcal{A}_{\varphi}\oplus\mathcal{B}_{\varphi}$ ($\varphi\in Q_1$); можно аналогично определить прямые суммы нескольких представлений;

гомоморфизм представлений $\mathcal{F}:R\to S$ — это набор линейных отображений $\mathcal{F}_i:V_i\to U_i$ ($i\in Q_0$), согласованных с отображениями $\mathcal{A}_{\varphi},\mathcal{B}_{\varphi}$ следующим образом: $\mathcal{F}_j\mathcal{A}_{\varphi}=\mathcal{B}_{\varphi}\mathcal{F}_i$ для всякой стрелки $\varphi\in Q_1$, где $i$ — её начало, а $j$ — её конец; очевидным образом определяются композиция гомоморфизмов и изоморфизм представлений колчанов (все отображения $\mathcal{F}_i$ должны быть биективными);

ядро $\operatorname{Ker}\mathcal{F}$ и образ $\operatorname{Im}\mathcal{F}$ гомоморфизма представлений состоят из подпространств $\operatorname{Ker}\mathcal{F}_i\subseteq V_i$ $\operatorname{Im}\mathcal{F}_i\subseteq U_i$ и линейных отображений $\mathcal{A}_{\varphi}$ и $\mathcal{B}_{\varphi}$, соответственно, ограниченных на эти подпространства; они являются подпредставлениями в $R$ и $S$, соответственно;

и т.п.

Теория колчанов предоставляет довольно гибкий и универсальный язык для решения разных задач линейной алгебры.

Примеры:

представления колчана Жордана — это линейные операторы на векторном пространстве;
представления $s$-колчана Кронекера — это наборы из $s$ линейных отображений $V_1\to V_2$;
конфигурации из $s$ подпространств сводятся к представлениям колчана подпространств, в которых все отображения инъективны.

Определение 4. Вектор размерностей $\dim R$ представления $R=(V,\mathcal{A})$ — это набор размерностей $\dim V_i$ ($i\in Q_0$).

При классификации представлений колчана первым дискретным инвариантом является вектор размерностей. При фиксированном векторе размерностей можно зафиксировать пространства $V_i$, "живущие" в вершинах колчана, и тогда классы изоморфных представлений с данным вектором размерностей взаимно однозначно соответствуют орбитам действия группы $GL(V)=\prod_{i\in Q_0}GL(V_i)$ на пространстве $\operatorname{Rep}(Q,V)=\prod_{\varphi\in Q_1}L(V_i,V_j)$ (где $i,j$ — начало и конец стрелки $\varphi$), при котором $\mathcal{A}_{\varphi}$ преобразуются в $\mathcal{G}_j\mathcal{A}_{\varphi}\mathcal{G}_i^{-1}$ ($\mathcal{G}\in GL(V)$).

В теории представлений конечных групп (по крайней мере, над полем нулевой характеристики) классификация представлений сводится к описанию неприводимых представлений, поскольку каждое представление однозначно, с точностью до изоморфизма, разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. В теории колчанов это уже не так — неприводимых представлений слишком мало, чтобы из них прямыми суммами можно было получить все представления (см. задачу 10.1). Однако неприводимым представлениям есть замена — неразложимые представления.

Определение 5. Представление колчана называется неразложимым, если его нельзя разложить в прямую сумму ненулевых подпредставлений.

Теорема Крулля-Ремака-Шмидта-Веддербарна. Любое представление колчана однозначно, с точностью до изоморфизма, разлагается в прямую сумму неразложимых представлений.

Существование разложения тривиально вытекает из конечномерности. Доказательство единственности основано на следующей лемме.

Лемма Фиттинга. Всякий эндоморфизм неразложимого представления либо нильпотентен, либо является автоморфизмом.

Для доказательства леммы рассмотрим последовательность $\operatorname{Im}\mathcal{F}\supseteq\operatorname{Im}\mathcal{F}^2\supseteq\dots$ образов степеней произвольного эндоморфизма $\mathcal{F}$ неразложимого представления $R$. По соображениям конечномерности она стабилизируется: $\operatorname{Im}\mathcal{F}^n=\operatorname{Im}\mathcal{F}^{n+1}=\dots$ для некоторого $n$. Положим $\mathcal{P}=\mathcal{F}^n$. Тогда либо $\mathcal{P}=0$ либо $\mathcal{P}$ индуцирует автоморфизм подпредставления $\operatorname{Im}\mathcal{P}$. В последнем случае $R=\operatorname{Im}\mathcal{P}\oplus\operatorname{Ker}\mathcal{P}$, откуда $\operatorname{Ker}\mathcal{P}=\operatorname{Ker}\mathcal{F}=0$, $\operatorname{Im}\mathcal{P}=\operatorname{Im}\mathcal{F}=R$, а значит, $\mathcal{F}$ — автоморфизм.

Из леммы Фиттинга следует, что все нильпотентные эндоморфизмы неразложимого представления образуют двусторонний идеал в кольце эндоморфизмов (задача 10.4).

Предположим теперь, что представление $R$ имеет два разложения в прямую сумму неразложимых подпредставлений: $$R=R(1)\oplus\dots\oplus R(m)=R'(1)\oplus\dots\oplus R'(n).$$ Рассмотрим произвольный (например, тождественный) автоморфизм $\mathcal{F}$ представления $R$. Он задаётся матрицей $$ F= \begin{pmatrix} \mathcal{F}_{11} & \dots & \mathcal{F}_{1n} \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \mathcal{F}_{m1} & \dots & \mathcal{F}_{mn} \\ \end{pmatrix} $$ гомоморфизмов $\mathcal{F}_{ij}:R'(j)\to R(i)$, а $\mathcal{F}^{-1}$ — матрицей $$ G= \begin{pmatrix} \mathcal{G}_{11} & \dots & \mathcal{G}_{1m} \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \mathcal{G}_{n1} & \dots & \mathcal{G}_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ гомоморфизмов $\mathcal{G}_{ji}:R(i)\to R'(j)$, причём $$ FG= \begin{pmatrix} \mathcal{E}_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & \mathcal{E}_m \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mathcal{E}_i:R(i)\to R(i)$ — тождественные автоморфизмы. В частности, $\mathcal{F}_{11}\mathcal{G}_{11}+\dots+\mathcal{F}_{1n}\mathcal{G}_{n1}=\mathcal{E}_1$. Следовательно, одно из слагаемых не является нильпотентным, а значит, обратимо. Без ограничения общности можно считать, что эндоморфизм $\mathcal{F}_{11}\mathcal{G}_{11}$ представления $R(1)$ обратим. Тогда $\mathcal{G}_{11}\mathcal{F}_{11}$ не может быть нильпотентным, а значит, тоже обратим. Отсюда следует, что $\mathcal{F}_{11}$ и $\mathcal{G}_{11}$ — изоморфизмы (не обязательно взаимно обратные) между представлениями $R(1)$ и $R'(1)$.

Домножая автоморфизм $\mathcal{F}$ слева на автоморфизм, задаваемый матрицей $$ \begin{pmatrix} \mathcal{E}_1 & & & \mathrm{O} \\ -\mathcal{F}_{21}\mathcal{F}_{11}^{-1} & \mathcal{E}_2 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ -\mathcal{F}_{m1}\mathcal{F}_{11}^{-1} & \mathrm{O} & & \mathcal{E}_m \\ \end{pmatrix}, $$ а справа на автоморфизм, задаваемый матрицей $$ \begin{pmatrix} \mathcal{E}'_1 & -\mathcal{F}_{11}^{-1}\mathcal{F}_{12} & \dots & -\mathcal{F}_{11}^{-1}\mathcal{F}_{1n} \\ & \mathcal{E}'_2 & & \mathrm{O} \\ & & \ddots & \\ \mathrm{O} & & & \mathcal{E}'_n \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mathcal{E}'_j:R'(j)\to R'(j)$ — тождественные автоморфизмы, добиваемся выполнения условий $\mathcal{F}_{i1}=0$, $\mathcal{F}_{1j}=0$, $\forall i,j>1$. Это означает, что $\mathcal{F}$ отображает $R'(2)\oplus\dots\oplus R'(n)$ в $R(2)\oplus\dots\oplus R(m)$. Рассуждение по индукции завершает доказательство теоремы.

предыдущий семинар	13 ноября 2014 г.	следующий семинар
Тема 10 Конфигурации подпространств и представления колчанов Рассмотрим задачу описания всевозможных видов взаимного расположения нескольких подпространств в векторном пространстве. Для того, чтобы её точно поставить, нужно вначале ответить на следующий вопрос: для каких конфигураций подпространств расположение подпространств в них следует считать одинаковым. Определение 1. Два набора подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$ и $U'_1,\dots,U'_s\subseteq V'$ называются эквивалентными, если существует изоморфизм (т.е. биективное линейное отображение) пространства $V$ на пространство $V'$, при котором подпространства $U_i$ переходят в $U_i'$ ($i=1,\dots,s$). С помощью этого изоморфизма мы можем отождествить пространства $V$ и $V'$ и рассматривать конфигурации подпространств в фиксированном векторном пространстве $V$. Тогда классы эквивалентных конфигураций — это то же, что орбиты естественного действия группы $GL(V)$ на наборах подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$. Действие группы $GL(V)$ сводится к заменам базиса в пространстве $V$, и классификация его орбит равносильна приведению конфигураций подпространств к каноническому виду за счёт выбора базиса в $V$. Решение этой задачи хорошо известно в простейших случаях из курса линейной алгебры. При $s=1$ выбор базиса $e_1,\dots,e_n$ пространства $V$, согласованного с подпространством $U$ так, что $$V=\langle e_1,\dots,e_n\rangle, \qquad U=\langle e_1,\dots,e_m\rangle\qquad(m\le n),$$ показывает, что инвариантами, однозначно определяющими расположение одного подпространства в векторном пространстве, являются размерности $\dim V$, $\dim U$. При $s=2$ можно выбрать базис, согласованный с двумя подпространствами так, что $$V=\langle e_1,\dots,e_n\rangle, \qquad U_1=\langle e_1,\dots,e_k\rangle, \qquad U_2=\langle e_1,\dots,e_m,e_{k+1},\dots,e_{k+l-m}\rangle$$ (тогда автоматически $U_1\cap U_2=\langle e_1,\dots,e_m\rangle$, $U_1+U_2=\langle e_1,\dots,e_{k+l-m}\rangle$). Поэтому взаимное расположение двух подпространств определяется инвариантами $$\dim V,\quad\dim U_1,\quad\dim U_2,\quad\dim(U_1\cap U_2),\quad\dim(U_1+U_2),$$ которые связаны известным соотношением $$\dim U_1+\dim U_2=\dim(U_1\cap U_2)+\dim(U_1+U_2).$$ Для конфигураций трёх и более подпространств задача характеризации их взаимного расположения уже не столь тривиальна. Чтобы с ней разобраться, удобно встать на более общую точку зрения. Вместо подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$ можно рассматривать инъективные линейные отображения $\mathcal{A}_i:V_i\to V$ ($i=1,\dots,s$), образами которых являются подпространства $U_i$, и классифицировать наборы $(\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_s)$ с точностью до изоморфных замен векторных пространств $V_1,\dots,V_s$ и $V$, а если считать эти пространства фиксированными, — с точностью до действия группы $GL(V_1)\times\dots\times GL(V_s)\times GL(V)$, при котором $\mathcal{A}_i$ переходит в $\mathcal{G}\mathcal{A}_i\mathcal{G}_i^{-1}$, где $\mathcal{G}\in GL(V)$, $\mathcal{G}_i\in GL(V_i)$. Можно не ограничиваться инъективными отображениями и рассматривать более общие схемы из векторных пространств и отображений между ними. Такие схемы называются колчанами, а соответствующие наборы векторных пространств и линейных отображений — представлениями колчанов. Определение 2. Колчан — это конечный ориентированный граф $Q$. Допускается любое количество стрелок (ориентированных рёбер), соединяющих две данные вершины, причём в обоих направлениях, а также петли (стрелки с началом и концом в одной и той же вершине). Обозначим через $Q_0$ множество вершин колчана, а через $Q_1$ — множество его рёбер. Примеры колчанов: колчан Жордана состоит из одной вершины и одной петли при ней; $s$-колчан Кронекера (при $s=1$ — простейший линейный колчан, при $s=2$ — просто колчан Кронекера) состоит из двух вершин $1,2$ и $s$ стрелок, ведущих из $1$ в $2$; колчан подпространств состоит из вершин $0,1,\dots,s$ и $s$ стрелок, ведущих из вершин $1,\dots,s$ в вершину $0$. Определение 3. Представление колчана $Q$ — это пара $R=(V,\mathcal{A})$, где $V$ — набор (конечномерных) векторных пространств $V_i$, $i\in Q_0$, а $\mathcal{A}$ — набор линейных отображений $\mathcal{A}_{\varphi}:V_i\to V_j$ по всем стрелкам $\varphi\in Q_1$, где $i$ — начальная вершина (хвост), а $j$ — конечная вершина (голова) стрелки $\varphi$. Для представлений колчанов можно определить все основные понятия теории представлений: подпредставление представления $R$ — это такое представление $S=(U,\mathbf{\mathcal{B}})$, что $U_i\subseteq V_i$ — подпространства ($\forall i\in Q_0$), а отображения $\mathcal{B}_{\varphi}$ суть ограничения на них отображений $\mathcal{A}_{\varphi}$ ($\forall\varphi\in Q_1$); факторподпредставление $R/S$ состоит из набора факторпространств $V_i/U_i$ ($i\in Q_0$) и их отображений $\mathcal{C}_{\varphi}$, индуцированных отображениями $\mathcal{A}_{\varphi}$ ($\varphi\in Q_1$); прямая сумма $R\oplus S$ представлений $R=(V,\mathcal{A})$ и $S=(U,\mathbf{\mathcal{B}})$ состоит из пространств $V_i\oplus U_i$ ($i\in Q_0$) и отображений $\mathcal{A}_{\varphi}\oplus\mathcal{B}_{\varphi}$ ($\varphi\in Q_1$); можно аналогично определить прямые суммы нескольких представлений; гомоморфизм представлений $\mathcal{F}:R\to S$ — это набор линейных отображений $\mathcal{F}_i:V_i\to U_i$ ($i\in Q_0$), согласованных с отображениями $\mathcal{A}_{\varphi},\mathcal{B}_{\varphi}$ следующим образом: $\mathcal{F}_j\mathcal{A}_{\varphi}=\mathcal{B}_{\varphi}\mathcal{F}_i$ для всякой стрелки $\varphi\in Q_1$, где $i$ — её начало, а $j$ — её конец; очевидным образом определяются композиция гомоморфизмов и изоморфизм представлений колчанов (все отображения $\mathcal{F}_i$ должны быть биективными); ядро $\operatorname{Ker}\mathcal{F}$ и образ $\operatorname{Im}\mathcal{F}$ гомоморфизма представлений состоят из подпространств $\operatorname{Ker}\mathcal{F}_i\subseteq V_i$ $\operatorname{Im}\mathcal{F}_i\subseteq U_i$ и линейных отображений $\mathcal{A}_{\varphi}$ и $\mathcal{B}_{\varphi}$, соответственно, ограниченных на эти подпространства; они являются подпредставлениями в $R$ и $S$, соответственно; и т.п. Теория колчанов предоставляет довольно гибкий и универсальный язык для решения разных задач линейной алгебры. Примеры: представления колчана Жордана — это линейные операторы на векторном пространстве; представления $s$-колчана Кронекера — это наборы из $s$ линейных отображений $V_1\to V_2$; конфигурации из $s$ подпространств сводятся к представлениям колчана подпространств, в которых все отображения инъективны. Определение 4. Вектор размерностей $\dim R$ представления $R=(V,\mathcal{A})$ — это набор размерностей $\dim V_i$ ($i\in Q_0$). При классификации представлений колчана первым дискретным инвариантом является вектор размерностей. При фиксированном векторе размерностей можно зафиксировать пространства $V_i$, "живущие" в вершинах колчана, и тогда классы изоморфных представлений с данным вектором размерностей взаимно однозначно соответствуют орбитам действия группы $GL(V)=\prod_{i\in Q_0}GL(V_i)$ на пространстве $\operatorname{Rep}(Q,V)=\prod_{\varphi\in Q_1}L(V_i,V_j)$ (где $i,j$ — начало и конец стрелки $\varphi$), при котором $\mathcal{A}_{\varphi}$ преобразуются в $\mathcal{G}_j\mathcal{A}_{\varphi}\mathcal{G}_i^{-1}$ ($\mathcal{G}\in GL(V)$). В теории представлений конечных групп (по крайней мере, над полем нулевой характеристики) классификация представлений сводится к описанию неприводимых представлений, поскольку каждое представление однозначно, с точностью до изоморфизма, разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. В теории колчанов это уже не так — неприводимых представлений слишком мало, чтобы из них прямыми суммами можно было получить все представления (см. задачу 10.1). Однако неприводимым представлениям есть замена — неразложимые представления. Определение 5. Представление колчана называется неразложимым, если его нельзя разложить в прямую сумму ненулевых подпредставлений. Теорема Крулля-Ремака-Шмидта-Веддербарна. Любое представление колчана однозначно, с точностью до изоморфизма, разлагается в прямую сумму неразложимых представлений. Существование разложения тривиально вытекает из конечномерности. Доказательство единственности основано на следующей лемме. Лемма Фиттинга. Всякий эндоморфизм неразложимого представления либо нильпотентен, либо является автоморфизмом. Для доказательства леммы рассмотрим последовательность $\operatorname{Im}\mathcal{F}\supseteq\operatorname{Im}\mathcal{F}^2\supseteq\dots$ образов степеней произвольного эндоморфизма $\mathcal{F}$ неразложимого представления $R$. По соображениям конечномерности она стабилизируется: $\operatorname{Im}\mathcal{F}^n=\operatorname{Im}\mathcal{F}^{n+1}=\dots$ для некоторого $n$. Положим $\mathcal{P}=\mathcal{F}^n$. Тогда либо $\mathcal{P}=0$ либо $\mathcal{P}$ индуцирует автоморфизм подпредставления $\operatorname{Im}\mathcal{P}$. В последнем случае $R=\operatorname{Im}\mathcal{P}\oplus\operatorname{Ker}\mathcal{P}$, откуда $\operatorname{Ker}\mathcal{P}=\operatorname{Ker}\mathcal{F}=0$, $\operatorname{Im}\mathcal{P}=\operatorname{Im}\mathcal{F}=R$, а значит, $\mathcal{F}$ — автоморфизм. Из леммы Фиттинга следует, что все нильпотентные эндоморфизмы неразложимого представления образуют двусторонний идеал в кольце эндоморфизмов (задача 10.4). Предположим теперь, что представление $R$ имеет два разложения в прямую сумму неразложимых подпредставлений: $$R=R(1)\oplus\dots\oplus R(m)=R'(1)\oplus\dots\oplus R'(n).$$ Рассмотрим произвольный (например, тождественный) автоморфизм $\mathcal{F}$ представления $R$. Он задаётся матрицей $$ F= \begin{pmatrix} \mathcal{F}_{11} & \dots & \mathcal{F}_{1n} \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \mathcal{F}_{m1} & \dots & \mathcal{F}_{mn} \\ \end{pmatrix} $$ гомоморфизмов $\mathcal{F}_{ij}:R'(j)\to R(i)$, а $\mathcal{F}^{-1}$ — матрицей $$ G= \begin{pmatrix} \mathcal{G}_{11} & \dots & \mathcal{G}_{1m} \\ \vdots & \dots & \vdots \\ \mathcal{G}_{n1} & \dots & \mathcal{G}_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ гомоморфизмов $\mathcal{G}_{ji}:R(i)\to R'(j)$, причём $$ FG= \begin{pmatrix} \mathcal{E}_1 & & \mathrm{O} \\ & \ddots & \\ \mathrm{O} & & \mathcal{E}_m \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mathcal{E}_i:R(i)\to R(i)$ — тождественные автоморфизмы. В частности, $\mathcal{F}_{11}\mathcal{G}_{11}+\dots+\mathcal{F}_{1n}\mathcal{G}_{n1}=\mathcal{E}_1$. Следовательно, одно из слагаемых не является нильпотентным, а значит, обратимо. Без ограничения общности можно считать, что эндоморфизм $\mathcal{F}_{11}\mathcal{G}_{11}$ представления $R(1)$ обратим. Тогда $\mathcal{G}_{11}\mathcal{F}_{11}$ не может быть нильпотентным, а значит, тоже обратим. Отсюда следует, что $\mathcal{F}_{11}$ и $\mathcal{G}_{11}$ — изоморфизмы (не обязательно взаимно обратные) между представлениями $R(1)$ и $R'(1)$. Домножая автоморфизм $\mathcal{F}$ слева на автоморфизм, задаваемый матрицей $$ \begin{pmatrix} \mathcal{E}_1 & & & \mathrm{O} \\ -\mathcal{F}_{21}\mathcal{F}_{11}^{-1} & \mathcal{E}_2 & & \\ \vdots & & \ddots & \\ -\mathcal{F}_{m1}\mathcal{F}_{11}^{-1} & \mathrm{O} & & \mathcal{E}_m \\ \end{pmatrix}, $$ а справа на автоморфизм, задаваемый матрицей $$ \begin{pmatrix} \mathcal{E}'_1 & -\mathcal{F}_{11}^{-1}\mathcal{F}_{12} & \dots & -\mathcal{F}_{11}^{-1}\mathcal{F}_{1n} \\ & \mathcal{E}'_2 & & \mathrm{O} \\ & & \ddots & \\ \mathrm{O} & & & \mathcal{E}'_n \\ \end{pmatrix}, $$ где $\mathcal{E}'_j:R'(j)\to R'(j)$ — тождественные автоморфизмы, добиваемся выполнения условий $\mathcal{F}_{i1}=0$, $\mathcal{F}_{1j}=0$, $\forall i,j>1$. Это означает, что $\mathcal{F}$ отображает $R'(2)\oplus\dots\oplus R'(n)$ в $R(2)\oplus\dots\oplus R(m)$. Рассуждение по индукции завершает доказательство теоремы. Задачи Задача 10.1. Если колчан $Q$ не имеет ориентированных циклов, то его неприводимые представления исчерпываются представлениями $S(i)=(V,\mathcal{A})$ ($i\in Q_0$), у которых $\dim V_i=1$, $V_j=0$, $\forall j\ne i$, и $\mathcal{A}_{\varphi}=0$, $\forall\varphi\in Q_1$. Задача 10.2. Описать a) неприводимые б) неразложимые комплексные представления колчана Жордана. Задача 10.3. Любой эндоморфизм неразложимого комплексного представления колчана представляется в виде $\mathcal{F}=\lambda\mathcal{E}+\mathcal{N}$, где $\lambda\in\mathbb{C}$, $\mathcal{E}$ — тождественный, а $\mathcal{N}$ — нильпотентный эндоморфизм. Задача 10.4. Пусть $A$ — ассоциативное кольцо с $1$, в котором каждый элемент либо нильпотентен, либо обратим. Тогда все нильпотентные элементы в $A$ образуют двусторонний идеал. (Очевидно, это наибольший собственный идеал в $A$, причём все элементы вне его обратимы, т.е. $A$ — локальное кольцо). Задача 10.5. Описать разложение на неразложимые слагаемые для представлений колчанов, соответствующих одному и двум подпространствам в векторном пространстве. Задача 10.6. Всякое представление колчана подпространств представляется в виде прямой суммы представлений $S(i)$ и представления, соответствующего конфигурации подпространств $U_1,\dots,U_s\subseteq V$, для которых $U_1+\dots+U_s=V$.