Классификация кососимметрических и ортогональных операторов в псевдоевклидовых пространствах неизбежно приводит к рассмотрению операторов в псевдоэрмитовых пространствах.

Напомним, что псевдоэрмитово пространство сигнатуры $(k,l)$ — это комплексное векторное пространство, в котором задана невырожденная эрмитова форма $h$ сигнатуры $(k,l)$ (скалярное умножение). (Мы считаем, что форма $h$ антилинейна по первому аргументу и линейна по второму.)

Для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ в псевдоэрмитовом пространстве $V$ определен эрмитово сопряжённый оператор $\mathcal{A}^*$ по формуле $h(\mathcal{A}x,y)=h(x,\mathcal{A}^*y)$. Операция эрмитова сопряжения обладает следующими свойствами: $$(\mathcal{A}^*)^*=\mathcal{A}, \qquad (\lambda\mathcal{A})^*=\overline\lambda\mathcal{A}^*, \qquad (\mathcal{A}+\mathcal{B})^*=\mathcal{A}^*+\mathcal{B}^*,\qquad (\mathcal{AB})^*=\mathcal{B}^*\mathcal{A}^*.$$

Оператор $\mathcal{A}$ называется эрмитовым (косоэрмитовым, унитарным), если $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}^*=-\mathcal{A}$, $\mathcal{A}^*=\mathcal{A}^{-1}$). В отличие от вещественного случая, между (вещественными) векторными пространствами эрмитовых и косоэрмитовых операторов имеется канонический изоморфизм, задаваемый умножением на $i$. Полупростая часть эрмитова (косоэрмитова, унитарного) оператора также является эрмитовым (косоэрмитовым, унитарным) оператором.

Нам понадобится классификация нильпотентных эрмитовых операторов. Она аналогична классификации нильпотентных симметрических операторов.

Пусть $\mathcal{A}$ — нильпотентный эрмитов оператор высоты $p$ в псевдоэрмитовом пространстве $V$. Положим $$H(x,y)=h(\mathcal{A}^{p-1}x,y) \qquad (x,y\in V).$$ Это эрмитова форма, ядро которой совпадает с ядром оператора $\mathcal{A}^{p-1}$. Существует такой вектор $e\in V$, что $H(e,e)=\pm 1$. Матрица Грама векторов $e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e$ антитреугольна с одинаковыми антидиагональными элементами, равными $\pm 1$. Как и в случае симметрического оператора, за счёт выбора вектора $e$ в циклическом подпространстве $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ можно добиться того, чтобы матрица Грама приняла вид $\pm F$, где $F$ — антиединичная матрица. Так как подпространство $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ невырожденно, то его ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством. Таким образом мы получаем

Предложение. Для всякого нильпотентного эрмитова оператора в псевдоэрмитовом пространстве $V$ существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ задаётся (нильпотентной) жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$.

Овеществление $V^{\mathbb{R}}$ псевдозрмитова пространства $V$ можно рассматривать как вещественное квадратичное пространство, если определить скалярное произведение любых двух его векторов как половину вещественной части их скалярного произведения в пространстве V.

Пусть теперь $V$ — псевдоевклидово пространство. Предположим, что его комплексификация разложена в прямую сумму комплексно сопряжённых изотропных подпространств: $$V_{\mathbb{C}}=U\oplus\overline U, \qquad (U,U)=0.$$ (Изотропность здесь понимается в смысле скалярного умножения, продолженного с $V$ по линейности.) Тогда пространства $U$ и $\overline U$ двойственны относительно скалярного умножения, и формула $$h(x,y)=(\overline x,y)$$ задаёт невырожденную эрмитову форму на $U$. Тем самым пространство $U$ каноническим образом снабжается структурой псевдоэрмитова пространства. Соответственно, его овеществление $U^{\mathbb{R}}$ является псевдоевклидовым пространством. При этом изоморфизм пространства $U^{\mathbb{R}}$ на $V$, задаваемый проекцией на первое слагаемое разложения $V_{\mathbb{C}}=V\oplus\boldsymbol{i}V$ (взятие вещественной части), является также изоморфизмом псевдоевклидовых пространств.

Пусть $\mathcal{A}$ — кососимметрический оператор в псевдоевклидовом пространстве $V$. Для каждого вещественного (комплексного) числа $\lambda$ обозначим через $V^{\lambda}$ ($V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$) соответствующее корневое подпространство оператора $\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$). Пространство $V$ разлагается в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств следующих четырех типов:

$V^0$;
$V^\lambda\oplus V^{-\lambda}$, где $\lambda\in\mathbb{R}$, $\lambda\neq 0$;
$V^{\lambda,-\lambda}=\operatorname{Re}(V_{\mathbb{C}}^{\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda})$, где $\lambda\in\boldsymbol{i}\mathbb{R}$, $\lambda\neq 0$;
$V^{\lambda,\overline\lambda}\oplus V^{-\lambda,-\overline\lambda}=\operatorname{Re}(V_{\mathbb{C}}^\lambda\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{\overline\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\overline\lambda})$, где $\lambda\notin\mathbb{R}\cup\boldsymbol{i}\mathbb{R}$.

Рассмотрим последовательно эти типы слагаемых.

Классификация нильпотентных кососимметрических операторов в вещественном случае проводится так же, как и в комплексном. Единственное отличие состоит в том, что в случае нечётного $p$ матрица Грама может быть приведена к указанному антидиагональному виду лишь с точностью до умножения на $-1$ (её сигнатура будет равна $(\frac{p+1}2,\frac{p-1}2)$ или $(\frac{p-1}2,\frac{p+1}2)$ в зависимости от знака центрального элемента).
Здесь нет никакой разницы с комплексным случаем. Оператор $\mathcal{A}$ действует на $V^\lambda\oplus V^{-\lambda}$ как кососимметрический дубль его ограничения на $V^\lambda$.
Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, описанной выше, поскольку подпространства $U=V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$ и $\overline U=V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}$ изотропны. Проекция подпространства $U$ на вещественную часть подпространства $U\oplus\overline U$ есть изоморфизм псевдоевклидовых пространств, перестановочный с действием оператора $\mathcal{A}$. Ограничение оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}-\lambda\mathcal{E}$ на $U$ является нильпотентным косоэрмитовым оператором. Его структура описывается вышедоказанным предложением.
В этом случае подпространства $W=V_{\mathbb{C}}^{\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}$ и $\overline W=V_{\mathbb{C}}^{\overline\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\overline\lambda}$ невырожденны и ортогональны друг другу. Проекция подпространства $W$ на вещественную часть подпространства $W\oplus\overline W$ задаёт eё изоморфизм с пространством $W^{\mathbb{R}}$ (как псевдоевклидовых пространств), перестановочный с действием оператора $\mathcal{A}$. Ограничение оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ на $W$ есть кососимметрический дубль его ограничения на $V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$, а оператор $\mathcal{A}$ изоморфен его овеществлению.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Для любого кососимметрического оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих типов:

1а) линейный оператор в нечётномерном псевдоевклидовом пространстве, задаваемый нильпотентной жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с чередующимися единицами и минус единицами на антидиагонали;

1б) кососимметрический дубль вещественного линейного оператора в чётномерном векторном пространстве, задаваемого нильпотентной жордановой клеткой;

2) кососимметрический дубль вещественного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с ненулевым собственным значением;

3) овеществление кососимметрического дубля комплексного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\lambda\notin\mathbb{R}\cup\boldsymbol{i}\mathbb{R}$;

4) овеществление (косоэрмитова) линейного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, задаваемого матрицей вида $\boldsymbol{i}J$, где $J$ — вещественная жорданова клетка с ненулевым собственным значением, в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$ (где $F$ — антиединичная матрица).

Аналогично, для ортогональных операторов получаем следующую теорему.

Теорема 2. Для любого ортогонального оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих типов:

1а) линейный оператор в нечетномерном псевдоевклидовом пространстве, задаваемый матрицей $\pm\exp J$, где $J$ — нильпотентная жорданова клетка, в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с чередующимися единицами и минус единицами на антидиагонали;

1б) ортогональный дубль вещественного линейного оператора в чётномерном векторном пространстве, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\pm 1$;

2) ортогональный дубль вещественного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\neq\pm 1$;

3) овеществление ортогонального дубля комплексного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с мнимым собственным значением, не равным по модулю единице;

4) овеществление (унитарного) линейного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, задаваемого матрицей вида $\exp\boldsymbol{i}J$, где $J$ — вещественная жорданова клетка с собственным значением, не кратным $\pi$, в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$.

предыдущий семинар	6 ноября 2014 г.	следующий семинар
Тема 9 Кососимметрические и ортогональные операторы в псевдоевклидовых пространствах Классификация кососимметрических и ортогональных операторов в псевдоевклидовых пространствах неизбежно приводит к рассмотрению операторов в псевдоэрмитовых пространствах. Напомним, что псевдоэрмитово пространство сигнатуры $(k,l)$ — это комплексное векторное пространство, в котором задана невырожденная эрмитова форма $h$ сигнатуры $(k,l)$ (скалярное умножение). (Мы считаем, что форма $h$ антилинейна по первому аргументу и линейна по второму.) Для всякого линейного оператора $\mathcal{A}$ в псевдоэрмитовом пространстве $V$ определен эрмитово сопряжённый оператор $\mathcal{A}^$ по формуле $h(\mathcal{A}x,y)=h(x,\mathcal{A}^y)$. Операция эрмитова сопряжения обладает следующими свойствами: $$(\mathcal{A}^)^=\mathcal{A}, \qquad (\lambda\mathcal{A})^=\overline\lambda\mathcal{A}^, \qquad (\mathcal{A}+\mathcal{B})^=\mathcal{A}^+\mathcal{B}^,\qquad (\mathcal{AB})^=\mathcal{B}^\mathcal{A}^.$$ Оператор $\mathcal{A}$ называется эрмитовым (косоэрмитовым, унитарным), если $\mathcal{A}^=\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}^=-\mathcal{A}$, $\mathcal{A}^=\mathcal{A}^{-1}$). В отличие от вещественного случая, между (вещественными) векторными пространствами эрмитовых и косоэрмитовых операторов имеется канонический изоморфизм, задаваемый умножением на $i$. Полупростая часть эрмитова (косоэрмитова, унитарного) оператора также является эрмитовым (косоэрмитовым, унитарным) оператором. Нам понадобится классификация нильпотентных эрмитовых операторов. Она аналогична классификации нильпотентных симметрических операторов. Пусть $\mathcal{A}$ — нильпотентный эрмитов оператор высоты $p$ в псевдоэрмитовом пространстве $V$. Положим $$H(x,y)=h(\mathcal{A}^{p-1}x,y) \qquad (x,y\in V).$$ Это эрмитова форма, ядро которой совпадает с ядром оператора $\mathcal{A}^{p-1}$. Существует такой вектор $e\in V$, что $H(e,e)=\pm 1$. Матрица Грама векторов $e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e$ антитреугольна с одинаковыми антидиагональными элементами, равными $\pm 1$. Как и в случае симметрического оператора, за счёт выбора вектора $e$ в циклическом подпространстве $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ можно добиться того, чтобы матрица Грама приняла вид $\pm F$, где $F$ — антиединичная матрица. Так как подпространство $\langle e,\mathcal{A}e,\mathcal{A}^2e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ невырожденно, то его ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством. Таким образом мы получаем Предложение. Для всякого нильпотентного эрмитова оператора в псевдоэрмитовом пространстве $V$ существует разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, на каждом из которых оператор $\mathcal{A}$ задаётся (нильпотентной) жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$. Овеществление $V^{\mathbb{R}}$ псевдозрмитова пространства $V$ можно рассматривать как вещественное квадратичное пространство, если определить скалярное произведение любых двух его векторов как половину вещественной части их скалярного произведения в пространстве V. Пусть теперь $V$ — псевдоевклидово пространство. Предположим, что его комплексификация разложена в прямую сумму комплексно сопряжённых изотропных подпространств: $$V_{\mathbb{C}}=U\oplus\overline U, \qquad (U,U)=0.$$ (Изотропность здесь понимается в смысле скалярного умножения, продолженного с $V$ по линейности.) Тогда пространства $U$ и $\overline U$ двойственны относительно скалярного умножения, и формула $$h(x,y)=(\overline x,y)$$ задаёт невырожденную эрмитову форму на $U$. Тем самым пространство $U$ каноническим образом снабжается структурой псевдоэрмитова пространства. Соответственно, его овеществление $U^{\mathbb{R}}$ является псевдоевклидовым пространством. При этом изоморфизм пространства $U^{\mathbb{R}}$ на $V$, задаваемый проекцией на первое слагаемое разложения $V_{\mathbb{C}}=V\oplus\boldsymbol{i}V$ (взятие вещественной части), является также изоморфизмом псевдоевклидовых пространств. Пусть $\mathcal{A}$ — кососимметрический оператор в псевдоевклидовом пространстве $V$. Для каждого вещественного (комплексного) числа $\lambda$ обозначим через $V^{\lambda}$ ($V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$) соответствующее корневое подпространство оператора $\mathcal{A}$ ($\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$). Пространство $V$ разлагается в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств следующих четырех типов: $V^0$; $V^\lambda\oplus V^{-\lambda}$, где $\lambda\in\mathbb{R}$, $\lambda\neq 0$; $V^{\lambda,-\lambda}=\operatorname{Re}(V_{\mathbb{C}}^{\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda})$, где $\lambda\in\boldsymbol{i}\mathbb{R}$, $\lambda\neq 0$; $V^{\lambda,\overline\lambda}\oplus V^{-\lambda,-\overline\lambda}=\operatorname{Re}(V_{\mathbb{C}}^\lambda\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{\overline\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\overline\lambda})$, где $\lambda\notin\mathbb{R}\cup\boldsymbol{i}\mathbb{R}$. Рассмотрим последовательно эти типы слагаемых. Классификация нильпотентных кососимметрических операторов в вещественном случае проводится так же, как и в комплексном. Единственное отличие состоит в том, что в случае нечётного $p$ матрица Грама может быть приведена к указанному антидиагональному виду лишь с точностью до умножения на $-1$ (её сигнатура будет равна $(\frac{p+1}2,\frac{p-1}2)$ или $(\frac{p-1}2,\frac{p+1}2)$ в зависимости от знака центрального элемента). Здесь нет никакой разницы с комплексным случаем. Оператор $\mathcal{A}$ действует на $V^\lambda\oplus V^{-\lambda}$ как кососимметрический дубль его ограничения на $V^\lambda$. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, описанной выше, поскольку подпространства $U=V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$ и $\overline U=V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}$ изотропны. Проекция подпространства $U$ на вещественную часть подпространства $U\oplus\overline U$ есть изоморфизм псевдоевклидовых пространств, перестановочный с действием оператора $\mathcal{A}$. Ограничение оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}-\lambda\mathcal{E}$ на $U$ является нильпотентным косоэрмитовым оператором. Его структура описывается вышедоказанным предложением. В этом случае подпространства $W=V_{\mathbb{C}}^{\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\lambda}$ и $\overline W=V_{\mathbb{C}}^{\overline\lambda}\oplus V_{\mathbb{C}}^{-\overline\lambda}$ невырожденны и ортогональны друг другу. Проекция подпространства $W$ на вещественную часть подпространства $W\oplus\overline W$ задаёт eё изоморфизм с пространством $W^{\mathbb{R}}$ (как псевдоевклидовых пространств), перестановочный с действием оператора $\mathcal{A}$. Ограничение оператора $\mathcal{A}_{\mathbb{C}}$ на $W$ есть кососимметрический дубль его ограничения на $V_{\mathbb{C}}^{\lambda}$, а оператор $\mathcal{A}$ изоморфен его овеществлению. Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Теорема 1. Для любого кососимметрического оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих типов: 1а) линейный оператор в нечётномерном псевдоевклидовом пространстве, задаваемый нильпотентной жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с чередующимися единицами и минус единицами на антидиагонали; 1б) кососимметрический дубль вещественного линейного оператора в чётномерном векторном пространстве, задаваемого нильпотентной жордановой клеткой; 2) кососимметрический дубль вещественного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с ненулевым собственным значением; 3) овеществление кососимметрического дубля комплексного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\lambda\notin\mathbb{R}\cup\boldsymbol{i}\mathbb{R}$; 4) овеществление (косоэрмитова) линейного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, задаваемого матрицей вида $\boldsymbol{i}J$, где $J$ — вещественная жорданова клетка с ненулевым собственным значением, в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$ (где $F$ — антиединичная матрица). Аналогично, для ортогональных операторов получаем следующую теорему. Теорема 2. Для любого ортогонального оператора $\mathcal{A}$ в псевдоевклидовом пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих типов: 1а) линейный оператор в нечетномерном псевдоевклидовом пространстве, задаваемый матрицей $\pm\exp J$, где $J$ — нильпотентная жорданова клетка, в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с чередующимися единицами и минус единицами на антидиагонали; 1б) ортогональный дубль вещественного линейного оператора в чётномерном векторном пространстве, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\pm 1$; 2) ортогональный дубль вещественного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с собственным значением $\neq\pm 1$; 3) овеществление ортогонального дубля комплексного линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой с мнимым собственным значением, не равным по модулю единице; 4) овеществление (унитарного) линейного оператора в псевдоэрмитовом пространстве, задаваемого матрицей вида $\exp\boldsymbol{i}J$, где $J$ — вещественная жорданова клетка с собственным значением, не кратным $\pi$, в базисе, матрица Грама которого имеет вид $\pm F$. Задачи Задача 9.1. Эрмитово сопряжённый оператор $\mathcal{A}^$ полупрост (нильпотентен, унипотентен) тогда и только тогда, когда таковым является оператор $\mathcal{A}$. Задача 9.2. Овеществление псевдоэрмитова пространства сигнатуры $(k,l)$ является псевдоевклидовым пространством сигнатуры $(2k,2l)$. Задача 9.3. Линейный оператор, сопряжённый овеществлению $\mathcal{A}^{\mathbb{R}}$ оператора $\mathcal{A}$ в псевдоэрмитовом пространстве $V$, совпадает с овеществлением эрмитово сопряжённого оператора $\mathcal{A}^*$. В частности, оператор $\mathcal{A}^{\mathbb{R}}$ является симметрическим (кососимметрическим, ортогональным) тогда и только тогда, когда оператор $\mathcal{A}$ эрмитов (косоэрмитов, унитарен). Задача 9.4. Доказать теорему 2. Задача 9.5. Группа $PO_{n,1}=O_{n,1}/\{\pm E\}$ есть группа движений $n$-мерного пространства Лобачевского $L^n$. Пользуясь теоремой 2, получить классификацию движений пространства $L^n$.