Рассмотрим вначале одну общую конструкцию. Пусть $U$ — произвольное векторное пространство, а $U^*$ — его сопряжённое пространство (пространство линейных форм на $U$ ). Тогда в пространстве $U\oplus U^*$ можно определить скалярное умножение по следующим формулам: $(U,U)=(U^*,U^*)=0,\qquad (x,y)=(y,x)=y(x)\quad\text{при }x\in U,\ y\in U^*.$ Полученное таким образом квадратичное пространство будем называть квадратичным дублем пространства $U$ .

Если

$\mathcal{B}$ — произвольный линейный оператор в пространстве

$U$ , то

$\mathcal{B}\oplus\mathcal{B}^*$ (

$\mathcal{B}\oplus(-\mathcal{B}^*)$ ,

$\mathcal{B}\oplus(\mathcal{B}^*)^{-1}$ ) — симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор в пространстве

$U\oplus U^*$ , который мы будем называть симметрическим (кососимметрическим, ортогональным) дублем оператора

$\mathcal{B}$ . Это единственный симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор в пространстве

$U\oplus U^*$ , сохраняющий подпространства

$U$ и

$U^*$ и действующий на

$U$ как заданный оператор

$\mathcal{B}$ .

Мы знаем, что в случае

$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или

$\mathbb{R}$ экспонента кососимметрического оператора является ортогональным оператором (задача 5.1), а экспонента нильпотентного оператора — унипотентным оператором (задача 1.9). Для нильпотентных операторов экспонента может быть определена над любым полем нулевой характеристики, так как в этом случае ряд, задающий экспоненту, фактически конечен.

Пусть теперь

$V$ — комплексное квадратичное пространство.

Напомним, что полупростая часть

$\mathcal{A}_s$ кососимметрического (ортогонального) линейного оператора в пространстве

$V$ также является кососимметрическим (ортогональным) оператором, и собственные подпространства оператора

$\mathcal{A}_s$ — это корневые подпространства оператора

$\mathcal{A}$ .

Если

$\mathcal{A}\in L(V)$ — кососимметрический оператор, то из равенства

$(\mathcal{A}_s x,y)+(x,\mathcal{A}_s y)=0$ следует, что корневые подпространства

$V^\lambda(\mathcal{A})$ и

$V^\mu(\mathcal{A})$ оператора

$\mathcal{A}$ ортогональны при

$\lambda+\mu\neq 0$ . Это означает, что пространство

$V$ разлагается в ортогональную прямую сумму подпространства

$V^0(\mathcal{A})$ и подпространств вида

$V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ с

$\lambda\neq 0$ , причём всякое подпространство

$V^\lambda(\mathcal{A})$ с

$\lambda\neq 0$ изотропно, а подпространство

$V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ канонически отождествляется с его сопряжённым пространством, если положить

$y(x)=(x,y)$ при

$x\in V^\lambda$ ,

$y\in V^{-\lambda}$ . Таким образом,

$V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ есть квадратичный дубль пространства

$V^\lambda(\mathcal{A})$ , а оператор

$\mathcal{A}$ действует на нём как кососимметрический дубль своего ограничения на

$V^\lambda(\mathcal{A})$ , и его структура полностью определяется структурой ограничения оператора на

$V^\lambda(\mathcal{A})$ , на которую уже нет никаких ограничений. Тем самым классификация произвольных кососимметрических операторов сводится к классификации нильпотентных кососимметрических операторов.

Аналогично, если

$\mathcal{A}\in L(V)$ — ортогональный оператор, то из равенства

$(\mathcal{A}_s x,\mathcal{A}_s y)=(x,y)$ следует, что корневые подпространства

$V^\lambda(\mathcal{A})$ и

$V^\mu(\mathcal{A})$ оператора

$\mathcal{A}$ ортогональны при

$\lambda\mu\neq 1$ . Это означает, что пространство

$V$ разлагается в ортогональную прямую сумму подпространств

$V^1(\mathcal{A})$ ,

$V^{-1}(\mathcal{A})$ и подпространств вида

$V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{\lambda^{-1}}(\mathcal{A})$ с

$\lambda\neq\pm 1$ , причём всякое подпространство такого вида является квадратичным дублем пространства

$V^\lambda(\mathcal{A})$ , а оператор

$\mathcal{A}$ действует на нём как ортогональный дубль своего ограничения на

$V^\lambda(\mathcal{A})$ . Тем самым классификация произвольных ортогональных операторов сводится к классификации унипотентных ортогональных операторов. (Ограничение оператора

$\mathcal{A}$ на

$V^{-1}(\mathcal{A})$ есть унипотентный ортогональный оператор, умноженный на

$-1$ .) В свою очередь, в силу задачи 8.2 классификация унипотентных ортогональных операторов сводится к классификации нильпотентных кососимметрических операторов.

Пусть

$\mathcal{A}\in L(V)$ — нильпотентный кососимметрический оператор высоты

$p$ . Рассмотрим билинейную форму

$F(x,y)=(\mathcal{A}^{p-1}x,y)$ . Эта форма симметрическая, если

$p$ нечётно, и кососимметрическая, если

$p$ чётно. Её ядро — это ядро оператора

$\mathcal{A}^{p-1}$ , так что она определяет невырожденную билинейную форму на факторпространстве

$V/\operatorname{Ker}\mathcal{A}^{p-1}$ (

$\simeq\operatorname{Im}\mathcal{A}^{p-1}$ ).

Если

$p$ нечётно, то, как и в случае симметрического оператора

$\mathcal{A}$ , можно найти такой вектор

$e$ , что

$(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=1$ , и далее за счёт выбора вектора

$e$ в порождённом им циклическом подпространстве добиться того, чтобы матрица Грама векторов

$e, \mathcal{A}e, \mathcal{A}^2e, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e$ приняла антидиагональный вид. Единственное отличие будет состоять в том, что на антидиагонали матрицы Грама будут стоять не единицы, но чередуюшиеся единицы и минус единицы. Как и в случае симметрического оператора, циклическое подпространство, порождённое таким вектором

$e$ , невырожденно, и его ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством.

Если

$p$ чётно, то можно найти такие векторы

$e$ и

$f$ , что

$(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=(\mathcal{A}^{p-1}f,f)=0,\qquad (\mathcal{A}^{p-1}e,f)=-(\mathcal{A}^{p-1}f,e)=1.$ Матрица Грама векторов

$e, f, \mathcal{A}e, \mathcal{A}f, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e, \mathcal{A}^{p-1}f$ антитреугольна, причём на её антидиагонали стоят числа

$-1,1,1,-1,\dots,-1,1,1,-1$ .

Если выбрать векторы

$e$ и

$f$ , как в задаче 8.3, то (прямая) сумма циклических подпространств

$\langle e,\mathcal{A}e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ и

$\langle f,\mathcal{A}f,\dots,\mathcal{A}^{p-1}f\rangle$ будет квадратичным дублем подпространства

$\langle e,\mathcal{A}e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ , а оператор

$\mathcal{A}$ — кососимметрическим дублем своего ограничения на него. Так как сумма указанных подпространств невырожденна, то её ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством.

Таким образом, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Для любого кососимметрического оператора

$\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве

$V$ существует такое разложение пространства

$V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора

$\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих двух типов:

кососимметрический дубль линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой;

(кососимметрический) линейный оператор в нечётномерном квадратичном пространстве, задаваемый нильпотентной жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с антидиагональными элементами $1,-1,\dots,-1,1$ .

Отсюда с помощью задачи 8.2 получаем аналогичную теорему для ортогональных операторов.

Теорема 2. Для любого ортогонального оператора

$\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве

$V$ существует такое разложение пространства

$V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора

$\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих двух типов:

ортогональный дубль линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой;
(ортогональный) линейный оператор в нечётномерном квадратичном пространстве, задаваемый матрицей вида $\pm\exp J$ , где $J$ — нильпотентная жорданова клетка, в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с антидиагональными элементами $1,-1,\dots,-1,1$ .

предыдущий семинар	30 октября 2014 г.	следующий семинар
Тема 8 Кососимметрические и ортогональные операторы в квадратичных пространствах Рассмотрим вначале одну общую конструкцию. Пусть $U$ — произвольное векторное пространство, а $U^$ — его сопряжённое пространство (пространство линейных форм на $U$ ). Тогда в пространстве $U\oplus U^$ можно определить скалярное умножение по следующим формулам: $(U,U)=(U^,U^)=0,\qquad (x,y)=(y,x)=y(x)\quad\text{при }x\in U,\ y\in U^.$ Полученное таким образом квадратичное пространство будем называть квадратичным дублем* пространства $U$ . Если $\mathcal{B}$ — произвольный линейный оператор в пространстве $U$ , то $\mathcal{B}\oplus\mathcal{B}^$ ( $\mathcal{B}\oplus(-\mathcal{B}^)$ , $\mathcal{B}\oplus(\mathcal{B}^)^{-1}$ ) — симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор в пространстве $U\oplus U^$ , который мы будем называть симметрическим (кососимметрическим, ортогональным) дублем оператора $\mathcal{B}$ . Это единственный симметрический (кососимметрический, ортогональный) оператор в пространстве $U\oplus U^$ , сохраняющий подпространства $U$ и $U^$ и действующий на $U$ как заданный оператор $\mathcal{B}$ . Мы знаем, что в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$ экспонента кососимметрического оператора является ортогональным оператором (задача 5.1), а экспонента нильпотентного оператора — унипотентным оператором (задача 1.9). Для нильпотентных операторов экспонента может быть определена над любым полем нулевой характеристики, так как в этом случае ряд, задающий экспоненту, фактически конечен. Пусть теперь $V$ — комплексное квадратичное пространство. Напомним, что полупростая часть $\mathcal{A}_s$ кососимметрического (ортогонального) линейного оператора в пространстве $V$ также является кососимметрическим (ортогональным) оператором, и собственные подпространства оператора $\mathcal{A}_s$ — это корневые подпространства оператора $\mathcal{A}$ . Если $\mathcal{A}\in L(V)$ — кососимметрический оператор, то из равенства $(\mathcal{A}_s x,y)+(x,\mathcal{A}_s y)=0$ следует, что корневые подпространства $V^\lambda(\mathcal{A})$ и $V^\mu(\mathcal{A})$ оператора $\mathcal{A}$ ортогональны при $\lambda+\mu\neq 0$ . Это означает, что пространство $V$ разлагается в ортогональную прямую сумму подпространства $V^0(\mathcal{A})$ и подпространств вида $V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ с $\lambda\neq 0$ , причём всякое подпространство $V^\lambda(\mathcal{A})$ с $\lambda\neq 0$ изотропно, а подпространство $V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ канонически отождествляется с его сопряжённым пространством, если положить $y(x)=(x,y)$ при $x\in V^\lambda$ , $y\in V^{-\lambda}$ . Таким образом, $V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{-\lambda}(\mathcal{A})$ есть квадратичный дубль пространства $V^\lambda(\mathcal{A})$ , а оператор $\mathcal{A}$ действует на нём как кососимметрический дубль своего ограничения на $V^\lambda(\mathcal{A})$ , и его структура полностью определяется структурой ограничения оператора на $V^\lambda(\mathcal{A})$ , на которую уже нет никаких ограничений. Тем самым классификация произвольных кососимметрических операторов сводится к классификации нильпотентных кососимметрических операторов. Аналогично, если $\mathcal{A}\in L(V)$ — ортогональный оператор, то из равенства $(\mathcal{A}_s x,\mathcal{A}_s y)=(x,y)$ следует, что корневые подпространства $V^\lambda(\mathcal{A})$ и $V^\mu(\mathcal{A})$ оператора $\mathcal{A}$ ортогональны при $\lambda\mu\neq 1$ . Это означает, что пространство $V$ разлагается в ортогональную прямую сумму подпространств $V^1(\mathcal{A})$ , $V^{-1}(\mathcal{A})$ и подпространств вида $V^\lambda(\mathcal{A})\oplus V^{\lambda^{-1}}(\mathcal{A})$ с $\lambda\neq\pm 1$ , причём всякое подпространство такого вида является квадратичным дублем пространства $V^\lambda(\mathcal{A})$ , а оператор $\mathcal{A}$ действует на нём как ортогональный дубль своего ограничения на $V^\lambda(\mathcal{A})$ . Тем самым классификация произвольных ортогональных операторов сводится к классификации унипотентных ортогональных операторов. (Ограничение оператора $\mathcal{A}$ на $V^{-1}(\mathcal{A})$ есть унипотентный ортогональный оператор, умноженный на $-1$ .) В свою очередь, в силу задачи 8.2 классификация унипотентных ортогональных операторов сводится к классификации нильпотентных кососимметрических операторов. Пусть $\mathcal{A}\in L(V)$ — нильпотентный кососимметрический оператор высоты $p$ . Рассмотрим билинейную форму $F(x,y)=(\mathcal{A}^{p-1}x,y)$ . Эта форма симметрическая, если $p$ нечётно, и кососимметрическая, если $p$ чётно. Её ядро — это ядро оператора $\mathcal{A}^{p-1}$ , так что она определяет невырожденную билинейную форму на факторпространстве $V/\operatorname{Ker}\mathcal{A}^{p-1}$ ( $\simeq\operatorname{Im}\mathcal{A}^{p-1}$ ). Если $p$ нечётно, то, как и в случае симметрического оператора $\mathcal{A}$ , можно найти такой вектор $e$ , что $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=1$ , и далее за счёт выбора вектора $e$ в порождённом им циклическом подпространстве добиться того, чтобы матрица Грама векторов $e, \mathcal{A}e, \mathcal{A}^2e, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e$ приняла антидиагональный вид. Единственное отличие будет состоять в том, что на антидиагонали матрицы Грама будут стоять не единицы, но чередуюшиеся единицы и минус единицы. Как и в случае симметрического оператора, циклическое подпространство, порождённое таким вектором $e$ , невырожденно, и его ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством. Если $p$ чётно, то можно найти такие векторы $e$ и $f$ , что $(\mathcal{A}^{p-1}e,e)=(\mathcal{A}^{p-1}f,f)=0,\qquad (\mathcal{A}^{p-1}e,f)=-(\mathcal{A}^{p-1}f,e)=1.$ Матрица Грама векторов $e, f, \mathcal{A}e, \mathcal{A}f, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e, \mathcal{A}^{p-1}f$ антитреугольна, причём на её антидиагонали стоят числа $-1,1,1,-1,\dots,-1,1,1,-1$ . Если выбрать векторы $e$ и $f$ , как в задаче 8.3, то (прямая) сумма циклических подпространств $\langle e,\mathcal{A}e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ и $\langle f,\mathcal{A}f,\dots,\mathcal{A}^{p-1}f\rangle$ будет квадратичным дублем подпространства $\langle e,\mathcal{A}e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ , а оператор $\mathcal{A}$ — кососимметрическим дублем своего ограничения на него. Так как сумма указанных подпространств невырожденна, то её ортогональное дополнение является инвариантным дополнительным подпространством. Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Для любого кососимметрического оператора $\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих двух типов: кососимметрический дубль линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой; (кососимметрический) линейный оператор в нечётномерном квадратичном пространстве, задаваемый нильпотентной жордановой клеткой в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с антидиагональными элементами $1,-1,\dots,-1,1$ . Отсюда с помощью задачи 8.2 получаем аналогичную теорему для ортогональных операторов. Для любого ортогонального оператора $\mathcal{A}$ в комплексном квадратичном пространстве $V$ существует такое разложение пространства $V$ в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, что ограничение оператора $\mathcal{A}$ на каждое из них относится к одному из следующих двух типов: ортогональный дубль линейного оператора, задаваемого жордановой клеткой; (ортогональный) линейный оператор в нечётномерном квадратичном пространстве, задаваемый матрицей вида $\pm\exp J$ , где $J$ — нильпотентная жорданова клетка, в базисе, матрица Грама которого антидиагональна с антидиагональными элементами $1,-1,\dots,-1,1$ . Задачи Задача 8.1. Каков канонический вид симметрического дубля линейного оператора в смысле теоремы о структуре симметрического оператора в комплексном квадратичном пространстве? Задача 8.2. В векторном пространстве над полем нулевой характеристики экспоненциальное отображение задаёт биекцию между множествами нильпотентных и унипотентных операторов, а в квадратичном пространстве — между множествами нильпотентных кососимметрических и унипотентных ортогональных операторов. Пусть $\mathcal{A}$ — нильпотентный кососимметрический оператор чётной высоты $p$ в комплексном квадратичном пространстве $V$ , и $e,f\in V$ — векторы, для которых $(\mathcal{A}^{p-1}e,f)=-(\mathcal{A}^{p-1}f,e)\ne0.$ Доказать, что, изменяя векторы $e$ и $f$ при сохранении суммы порождённых ими циклических подпространств $\langle e,\mathcal{A}e,\dots,\mathcal{A}^{p-1}e\rangle$ и $\langle f,\mathcal{A}f,\dots,\mathcal{A}^{p-1}f\rangle$ , можно добиться того, чтобы матрица Грама векторов $e, f, \mathcal{A}e, \mathcal{A}f, \dots , \mathcal{A}^{p-1}e, \mathcal{A}^{p-1}f$ стала антидиагональной (с теми же элементами на антидиагонали).