11 сентября 2014 г.

Тема 1

Разложение Жордана линейного оператора

Рассматриваются линейные операторы в $n$-мерном векторном пространстве над полем $\mathbb{K}$.

Определение 1. Линейный оператор называется полупростым, если его минимальный многочлен сепарабелен (не имеет кратных корней ни в каком расширении поля $\mathbb{K}$) или, что эквивалентно, если его матрица приводится к диагональному виду над некоторым расширением поля $\mathbb{K}$. (В качестве этого расширения достаточно взять поле разложения характеристического многочлена данного оператора.)

Определение 2. Линейный оператор $\mathcal{A}$ называется нильпотентным (соотв. унипотентным), если $\mathcal{A}^m=0$ (соотв. $(\mathcal{A}-\mathcal{E})^m=0$) для некоторого натурального $m$.

Определение 3. Аддитивным (соотв. мультипликативным) разложением Жордана линейного оператора $\mathcal{A}$ (соотв. невырожденного линейного оператора $\mathcal{A}$) называется его представление в виде $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ (соотв. $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$), где $\mathcal{A}_s$ — полупростой оператор, $\mathcal{A}_n$ — нильпотентный оператор (соотв. $\mathcal{A}_u$ — унипотентный оператор) и $\mathcal{A}_s\mathcal{A}_n=\mathcal{A}_n\mathcal{A}_s$ (соотв. $\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u=\mathcal{A}_u\mathcal{A}_s$).

Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто или хотя бы характеристический многочлен оператора $\mathcal{A}$ разлагается на линейные множители над $\mathbb{K}$, то существование и единственность разложения Жордана легко вытекает из разложения векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора $\mathcal{A}$.

Если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ — аддитивное разложение Жордана невырожденного линейного оператора $\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}= \mathcal{A}_s(\mathcal{E}+\mathcal{A}_s^{-1}\mathcal{A}_n)$ будет его мультипликативным разложением Жордана. Обратно, если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$ — мультипликативное разложение Жордана, то $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_s(\mathcal{A}_u-\mathcal{E})$ — аддитивное разложение Жордана. Отсюда, в частности, следует, что полупростая часть $\mathcal{A}_s$ оператора $\mathcal{A}$ одинакова в обоих разложениях.

Теорема. Для любого линейного оператора над полем нулевой характеристики существует (и единственно) разложение Жордана.

Над полем положительной характеристики разложение Жордана существует не всегда.

Задачи

Задача 1.1. Для любого линейного оператора над конечным полем существует разложение Жордана.

Задача 1.2. Найти разложение Жордана линейного оператора над полем $\mathbf{Z}_p$:
а) $\mathcal{A}=\;$[циклическая перестановка базисных векторов $p$-мерного пространства];
б) $\mathcal{A}=\;$[матрица порядка $p+1$, у которой диагональные элементы равны $0$, а все остальные — $1$].

Задача 1.3. Если $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}_s\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}_s$.

Задача 1.4. Операторы $\mathcal{A}_s$, $\mathcal{A}_n$, $\mathcal{A}_u$ являются многочленами от $\mathcal{A}$.

Задача 1.5. Если оператор $\mathcal{B}$ коммутирует со всеми операторами, коммутирующими с $\mathcal{A}$, то он является многочленом от $\mathcal{A}$.

В задачах 1.6-1.9 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$.

Задача 1.6. Для любого линейного оператора $\mathcal{A}$ ряд

$\displaystyle\exp\mathcal{A}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathcal{A}^k}{k!}$

абсолютно сходится. (Сходимость понимается как сходимость матричных элементов на каждом месте.)

Задача 1.7. Если $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, то $\exp(\mathcal{A}+\mathcal{B})=(\exp\mathcal{A})(\exp\mathcal{B})$.

Задача 1.8. $\det\exp\mathcal{A}=e^{\operatorname{tr}\mathcal{A}}$.

Задача 1.9. Если оператор $\mathcal{A}$ полупрост (нильпотентен), то оператор $\exp\mathcal{A}$ полупрост (унипотентен). Если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ — аддитивное разложение Жордана оператора $\mathcal{A}$, то $\exp\mathcal{A}=\exp\mathcal{A}_s\exp\mathcal{A}_n$ — мультипликативное разложение Жордана оператора $\exp\mathcal{A}$. Если оператор $\exp\mathcal{A}$ полупрост, то оператор $\mathcal{A}$ полупрост.

	11 сентября 2014 г.	следующий семинар
Тема 1 Разложение Жордана линейного оператора Рассматриваются линейные операторы в $n$-мерном векторном пространстве над полем $\mathbb{K}$. Определение 1. Линейный оператор называется полупростым, если его минимальный многочлен сепарабелен (не имеет кратных корней ни в каком расширении поля $\mathbb{K}$) или, что эквивалентно, если его матрица приводится к диагональному виду над некоторым расширением поля $\mathbb{K}$. (В качестве этого расширения достаточно взять поле разложения характеристического многочлена данного оператора.) Определение 2. Линейный оператор $\mathcal{A}$ называется нильпотентным (соотв. унипотентным), если $\mathcal{A}^m=0$ (соотв. $(\mathcal{A}-\mathcal{E})^m=0$) для некоторого натурального $m$. Определение 3. Аддитивным (соотв. мультипликативным) разложением Жордана линейного оператора $\mathcal{A}$ (соотв. невырожденного линейного оператора $\mathcal{A}$) называется его представление в виде $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ (соотв. $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$), где $\mathcal{A}_s$ — полупростой оператор, $\mathcal{A}_n$ — нильпотентный оператор (соотв. $\mathcal{A}_u$ — унипотентный оператор) и $\mathcal{A}_s\mathcal{A}_n=\mathcal{A}_n\mathcal{A}_s$ (соотв. $\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u=\mathcal{A}_u\mathcal{A}_s$). Если поле $\mathbb{K}$ алгебраически замкнуто или хотя бы характеристический многочлен оператора $\mathcal{A}$ разлагается на линейные множители над $\mathbb{K}$, то существование и единственность разложения Жордана легко вытекает из разложения векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора $\mathcal{A}$. Если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ — аддитивное разложение Жордана невырожденного линейного оператора $\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}= \mathcal{A}_s(\mathcal{E}+\mathcal{A}_s^{-1}\mathcal{A}_n)$ будет его мультипликативным разложением Жордана. Обратно, если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s\mathcal{A}_u$ — мультипликативное разложение Жордана, то $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_s(\mathcal{A}_u-\mathcal{E})$ — аддитивное разложение Жордана. Отсюда, в частности, следует, что полупростая часть $\mathcal{A}_s$ оператора $\mathcal{A}$ одинакова в обоих разложениях. Теорема. Для любого линейного оператора над полем нулевой характеристики существует (и единственно) разложение Жордана. Над полем положительной характеристики разложение Жордана существует не всегда. Задачи Задача 1.1. Для любого линейного оператора над конечным полем существует разложение Жордана. Задача 1.2. Найти разложение Жордана линейного оператора над полем $\mathbf{Z}_p$: а) $\mathcal{A}=\;$[циклическая перестановка базисных векторов $p$-мерного пространства]; б) $\mathcal{A}=\;$[матрица порядка $p+1$, у которой диагональные элементы равны $0$, а все остальные — $1$]. Задача 1.3. Если $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, то $\mathcal{A}_s\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}_s$. Задача 1.4. Операторы $\mathcal{A}_s$, $\mathcal{A}_n$, $\mathcal{A}_u$ являются многочленами от $\mathcal{A}$. Задача 1.5. Если оператор $\mathcal{B}$ коммутирует со всеми операторами, коммутирующими с $\mathcal{A}$, то он является многочленом от $\mathcal{A}$. В задачах 1.6-1.9 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$. Задача 1.6. Для любого линейного оператора $\mathcal{A}$ ряд $\displaystyle\exp\mathcal{A}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathcal{A}^k}{k!}$ абсолютно сходится. (Сходимость понимается как сходимость матричных элементов на каждом месте.) Задача 1.7. Если $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, то $\exp(\mathcal{A}+\mathcal{B})=(\exp\mathcal{A})(\exp\mathcal{B})$. Задача 1.8. $\det\exp\mathcal{A}=e^{\operatorname{tr}\mathcal{A}}$. Задача 1.9. Если оператор $\mathcal{A}$ полупрост (нильпотентен), то оператор $\exp\mathcal{A}$ полупрост (унипотентен). Если $\mathcal{A}=\mathcal{A}_s+\mathcal{A}_n$ — аддитивное разложение Жордана оператора $\mathcal{A}$, то $\exp\mathcal{A}=\exp\mathcal{A}_s\exp\mathcal{A}_n$ — мультипликативное разложение Жордана оператора $\exp\mathcal{A}$. Если оператор $\exp\mathcal{A}$ полупрост, то оператор $\mathcal{A}$ полупрост.